Paano mo susuriin ang [(1 + 3x) ^ (1 / x)] bilang x na lumalapit sa kawalang-hanggan?

Sagot:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

Paliwanag:

Pumunta upang gumamit ng isang nakakatawang manipis na manipis na manipis na manipis na ginagawang paggamit ng ang katunayan na ang pagpaparami at likas na pag-andar ng pag-andar ay kabaligtaran na mga operasyon. Nangangahulugan ito na maaari naming ilapat ang dalawa sa kanila nang hindi binabago ang pag-andar.

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)

Gamit ang mga exponent tuntunin ng logs maaari naming dalhin ang kapangyarihan down sa harap pagbibigay:

#lim_ (xrarroo) e ^ (1 / xln (1 + 3x)) #

Ang pagpapa-exponential function ay tuloy-tuloy upang isulat ito bilang

# e ^ (lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x)) #

at ngayon ay pakikitungo lamang sa limitasyon at tandaan na i-back ito sa pagpaparami.

#lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / (x) #

Ang limitasyon na ito ay nasa walang katapusang anyo # oo / oo # kaya gamitin ang L'Hopital's.

#lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / x = lim_ (xrarroo) (d / (dx) (ln (1 + 3x))) / (d / (dx) (x)) = lim_ (xrarroo) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

Kaya ang limitasyon ng exponent ay 0 kaya pangkalahatang limitasyon ay # e ^ 0 = 1 #