Tanong # 059f6

Sagot:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (X + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Paliwanag:

Ang pag-unlad ng isang function ng Taylor # f # sa # a # ay (a) + (f) (a) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) 2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Tandaan na ito ay isang serye ng kapangyarihan kaya hindi kinakailangang magsama-sama # f # o kahit magkasalubong sa ibang lugar kaysa sa # x = a #.

Kailangan muna namin ang derivatives ng # f # kung gusto naming sumulat ng isang tunay na formula ng serye ng Taylor nito.

Pagkatapos ng calculus at isang induction proof, maaari naming sabihin na #AAk sa NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # at #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1).

Kaya pagkatapos ng ilang magaspang at maliit na pagpapagaan, tila na ang serye ng Taylor # f # ay (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.