Ano ang orthocenter ng isang tatsulok na may vertices sa O (0,0), P (a, b), at Q (c, d) #?

Sagot:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Paliwanag:

Naipahayag ko ang lumang tanong na ito sa halip na humingi ng bago. Ginawa ko ito bago para sa isang tanong ng circumcenter at walang masamang nangyari, kaya ipinagpatuloy ko ang serye.

Tulad ng bago ko inilagay ang isang vertex sa pinagmulan upang subukang panatilihin ang algebra na tractable. Ang isang arbitrary na tatsulok ay madaling isinalin at ang resulta ay madaling maisalin.

Ang orthocenter ay ang intersection ng mga altitude ng isang tatsulok. Ang pagkakaroon nito ay batay sa teorama na ang mga altitude ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto. Sinasabi namin na ang tatlong kabundukan ay kasabay.

Patunayan natin ang mga altitude ng tatsulok na OPQ ay kasabay.

Ang direksyon vector ng side OP ay # P-O = P = (a, b), # na kung saan ay lamang ng isang magarbong paraan ng sinasabi ng slope ay # b / a # (ngunit ang direksyon vector din gumagana kapag # a = 0 #). Nakuha namin ang vector ng direksyon ng patayo sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate at pagpapawalang isa, dito # (b, -a). # Ang perpendicularly ay nakumpirma ng zero na tuldok na produkto:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Ang parametric equation ng altitude mula OP hanggang Q ay kaya:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # totoo # t #

Ang altitude mula sa OQ sa P ay katulad din

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # totoo # u #

Ang direksyon ng vector ng PQ ay # Q-P = (c-a, d-b) #. Ang patayo sa pamamagitan ng pinanggalingan, ibig sabihin, ang altitude mula sa PQ, ay kaya

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # totoo # v #

Tingnan natin ang pagkikita ng mga altitude mula sa OP at PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Iyon ay dalawang equation sa dalawang unknowns, # t # at # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Kami ay paramihin ang una sa pamamagitan ng # a # at ang pangalawa sa pamamagitan ng # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Pagdaragdag, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad-ab + ab-bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Pabagalin ang paraan sa produkto ng tuldok sa numerator at krus na produkto sa denamineytor.

Ang pagtatagpo ay ang itinuturing na orthocenter # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Hanapin natin ang pagkikita ng mga altitude mula sa OQ at PQ sa tabi. Sa pamamagitan ng mahusay na simetrya maaari lamang namin magpalitan # a # may # c # at # b # may # d #. Tatawagan namin ang resulta # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c)

Mayroon kaming dalawang interseksyon na ito ay pareho, # (x ', y') = (x, y), # kaya napatunayan namin na ang mga altitude ay kasabay. #quad sqrt #

Pinagtibay namin ang pagbibigay ng pangalan sa karaniwang intersection orthocenter, at natagpuan namin ang mga coordinate nito.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #