Paano mo nahanap ang lakas ng tunog ng solid na nabuo sa pamamagitan ng pag-revolving sa rehiyon na bounded ng curves y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) rotated tungkol sa y = 4?

Sagot:

# V = 685 / 32pi # kubiko yunit

Paliwanag:

Una, gumuhit ng mga graph.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # At mayroon kami # {(x = 0), (x = 1):} #

Kaya ang mga intercepts #(0,0)# at #(1,0)#

Kunin ang kaitaasan:

# y_1 = x ^ 2 -x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Kaya ang vertex ay nasa #(1/2,-1/4)#

Ulitin ang nakaraan:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # At mayroon kami # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Kaya ang mga intercepts # (sqrt (3), 0) # at # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Kaya ang vertex ay nasa #(0,3)#

Resulta:

Paano makukuha ang lakas ng tunog? Gagamitin namin ang pamamaraan ng disc!

Ang paraang ito ay simpleng: # "Dami" = piint_a ^ sa pamamagitan ng ^ 2dx #

Ang ideya ay simple, gayunpaman kailangan mong gamitin ito nang buong talino.

At iyan ang gagawin natin.

Hinahayaan naming tawagan ang aming dami # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NB: Kumukuha ako # (4-y) # dahil # y # lamang ang layo mula sa # x #-asisi sa curve, samantalang gusto natin ang layo mula sa linya # y = 4 # sa curve!

Ngayon upang mahanap # a # at # b #, tinutukoy namin # y_1 # at # y_2 # at pagkatapos ay malutas para sa # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

Mula noon # a # dumating bago # b #, # => a = -1 # at # b = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Gawin din para sa # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = kulay (asul) ((685pi) / 32) #