Ang isang 20 cm haba ng string ay gupitin sa dalawang piraso. Isa sa mga piraso ay ginagamit upang bumuo ng isang gilid ng isang parisukat?

Sagot:

# "Minimum na kabuuang lugar = 10.175 cm ²." #

# "Maximum na kabuuang lugar = 25 cm ²." #

Paliwanag:

# "Pangalanan ang haba ng piraso upang bumuo ng isang parisukat." #

# "Pagkatapos ang lugar ng parisukat ay" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Ang perimeter ng tatsulok ay" 20-x "." #

# "Kung y ay isa sa mga pantay na gilid ng tatsulok, pagkatapos ay mayroon kaming" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => area = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Kabuuang lugar =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) # # x ^ 2/16 + x ^

# / x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)

# "Ito ay isang parabole at ang minimum para sa isang parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "ay" x = -b / (2 * a) ", kung ang isang> 0." #

# "Ang maximum ay" x-> oo ", kung ang isang> 0." #

# "Kaya ang minimum ay" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Kabuuang lugar =" 10.175 "cm²." #

# "Ang maximum ay alinman sa x = 0 o x = 20." #

# "Sinuri namin ang lugar:" #

# "Kapag" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Kapag" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Kaya ang maximum na kabuuang lugar ay 25 cm ²." #

Sagot:

Ang minimum na lugar ay #10.1756# at maximum ay #25#

Paliwanag:

Ang buong gilid ng isang karapatan angled isosceles tatsulok ng panig # a # ay # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # at ang lugar nito ay # a ^ 2/2 #,

Hayaan ang isang piraso # x # cm. mula sa kung saan namin bumuo ng isang karapatan na angled isosceles tatsulok. Ito ay maliwanag na ang gilid ng kanan angled isosceles tatsulok ay magiging # x / (2 + sqrt2) # at ang lugar nito ay magiging

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Ang perimeter ng iba pang bahagi ng string na bumubuo ng isang parisukat ay # (20-x) # at bilang bahagi ng parisukat ay # (20-x) / 4 # ang lugar nito # (20-x) ^ 2/16 # at kabuuang lugar # T # ng dalawa ay

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Obserbahan iyan # 3-2sqrt2> 0 #, kaya koepisyent ng # x ^ 2 # ay positibo at samakatuwid ay magkakaroon kami ng minima at maaari naming isulat # T # bilang

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Bilang # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # ay palaging positibo, kami ay may pinakamaliit na halaga ng # T # kailan # x = 11.8596 #.

Obserbahan na theoritically walang maxima para sa function, ngunit bilang halaga ng # x # nasa pagitan ng #0,20#, At kailan # x = 0 #, meron kami # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

At kailan # x = 20 # kailan # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

at kaya ang maxima ay #25#

graph {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}