Ano ang -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) katumbas?

Sagot:

Problema na hindi masisira

Paliwanag:

Walang mga arko na ang kanilang cosine ay katumbas ng 2 at 3.

Mula sa isang analytic pananaw, ang # arccos # Ang function ay tinukoy lamang sa #-1,1# kaya nga #arccos (2) # & #arccos (3) # hindi umiiral.

Sagot:

Totoo # cos # at # sin # ito ay walang mga solusyon, ngunit bilang mga tungkulin ng mga kumplikadong numero nakita namin:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Paliwanag:

Bilang Real nagkakahalaga function ng Real halaga ng # x #, ang mga function #cos (x) # at #sin (x) # kumuha lamang ng mga halaga sa saklaw #-1, 1#, kaya #arccos (2) # at #arccos (3) # ay hindi natukoy.

Gayunpaman, posible na pahabain ang kahulugan ng mga pagpapaandar na ito sa Mga komplikadong function #cos (z) # at #sin (z) # tulad ng sumusunod:

Simula sa:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

maaari nating pagbatayan:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Kaya maaari naming tukuyin:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

para sa anumang Complex na numero # z #.

Posible upang makahanap ng maramihang mga halaga ng # z # na masisiyahan #cos (z) = 2 # o #cos (z) = 3 #, kaya maaaring may ilang mga pagpipilian na gagawin upang tukuyin ang halaga ng punong-guro #arccos (2) # o #arccos (3) #.

Upang makahanap ng mga angkop na kandidato, lutasin # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, atbp.

Gayunpaman, tandaan na ang pagkakakilanlan # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # humahawak para sa anumang Complex na numero # z #, kaya maaari nating pagbatayan:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Umaasa ako na posible na tukuyin ang halaga ng prinsipal sa ganitong paraan #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # sa halip # -sqrt (3) i #.

Sa anumang kaso, #cos (arccos (3)) = 3 # sa pamamagitan ng kahulugan.

Ang paglalagay ng lahat ng ito nang sama-sama, nakita namin:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #