Paano mo mahanap ang eksaktong halaga ng cos58 gamit ang kabuuan at pagkakaiba, double angle o kalahating anggulo formula?

Sagot:

Ito ay eksaktong isa sa mga ugat ng #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # kung saan #T_n (x) # ay ang # n #th Chebyshev Polynomial ng unang uri. Isa iyon sa apatnapu't anim na mga ugat ng:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Paliwanag:

# 58 ^ circ # ay hindi isang maramihang ng # 3 ^ circ #. Maramihang ng # 1 ^ circ # na hindi multiples ng # 3 ^ circ # ay hindi constructible sa isang straightedge at compass, at ang kanilang mga trig function ay hindi ang resulta ng ilang mga komposisyon ng integers gamit karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, dibisyon at parisukat rooting.

Hindi ito nangangahulugan na hindi namin maisulat ang ilang mga expression para sa #cos 58 ^ circ #. Kunin natin ang degree sign upang mangahulugan ng isang factor ng # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #

# a ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

Hindi na nakakatulong.

Maaari naming subukan upang isulat ang isang polinomyal na equation na isa sa kung saan ang mga ugat ay #cos 58 ^ circ # ngunit marahil ito ay magiging masyadong malaki upang magkasya.

# theta = 2 ^ circ # ay #180#ika ng isang bilog. Mula noon #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # ibig sabihin #cos 2 ^ circ # natutugunan

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #

Let's solve this for # theta # una. #cos x = cos a # May mga ugat # x = pm a + 360 ^ circ k, # integer # k #.

# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k or theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

Iyon ay maraming mga ugat, at nakikita natin # theta = 58 ^ circ # sa kanila.

Ang mga polynomials #T_n (x) #, tinawag na Chebyshev Polynomials ng unang uri, nasiyahan #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Mayroon silang mga coefficients ng integer. Alam namin ang mga unang ilang mula sa double at triple angle formula:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # kaya nga# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad quad # kaya nga# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # kaya nga # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # kaya nga # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

May isang magandang recursion relation na maaari naming patunayan:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

Kaya sa teorya maaari naming bumuo ng mga ito para sa bilang malaki # n # bilang pag-aalaga namin.

Kung hahayaan natin # x = cos theta, # ang aming equation

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

ay nagiging

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Ang Wolfram Alpha ay masaya na sabihin sa amin kung ano ang mga iyon. Isusulat ko ang equation para lang masubukan ang pag-render ng math:

Oo, sumasagot ang sagot na ito, salamat sa Socratic. Anway, isa sa mga pinagmulan ng ika-46 degree polinomyal na may integer coefficients ay # cos 58 ^ circ #.

Ang Triangle XYZ ay isosceles. Ang mga anggulo ng anggulo, anggulo X at anggulo Y, ay apat na beses ang sukat ng vertex angle, anggulo Z. Ano ang sukat ng anggulo X?

I-set up ang dalawang equation na may dalawang unknowns Makikita mo ang X at Y = 30 degrees, Z = 120 degrees Alam mo na X = Y, nangangahulugan na maaari mong palitan ang Y sa pamamagitan ng X o kabaligtaran. Maaari kang gumana ng dalawang equation: Dahil mayroong 180 degrees sa isang tatsulok, nangangahulugang: 1: X + Y + Z = 180 Kapalit Y ng X: 1: X + X + Z = 180 1: 2X + Z = 180 maaari ring gumawa ng isa pang equation na batay sa anggulo na Z ay 4 na beses na mas malaki kaysa anggulo X: 2: Z = 4X Ngayon, ilagay ang equation 2 sa equation 1 sa pamamagitan ng substituting Z sa pamamagitan ng 4x: 2X + 4X = 180 6X = 180 X = 3

Paano mo mahanap ang eksaktong halaga ng pangingitna ng 112.5 degrees gamit ang half angle formula?

Tan (112.5) = - (1 + sqrt (2)) 112.5 = 112 1/2 = 225/2 NB: Ang anggulo na ito ay nasa 2nd Quadrant. => tan (112.5) = tan (225/5) = sin (225/2) / cos (225/2) = - sqrt ([sin (225/2) / cos (225/2)] ^ 2) = -sqrt (sin ^ 2 (225/2) / cos ^ 2 (225/2)) Sinasabi namin na negatibo ito sapagkat ang halaga ng tan ay palaging negatibo sa pangalawang kuwadrante! Susunod, ginagamit namin ang formula ng kalahating anggulo sa ibaba: sin ^ 2 (x / 2) = 1/2 (1-cosx) cos ^ 2 (x / 2) = 1/2 (1 + cosx) => tan (112.5) = -sqrt (sin ^ 2 (225/2) / cos ^ 2 (225/2)) = -sqrt ((1/2 (1-cos (225))) / (1/2 (1 + cos (225 225 = 180 + 45 => cos (225) =

Paano mo nahanap ang eksaktong halaga ng cos 36 ^ @ gamit ang kabuuan at pagkakaiba, double angle o kalahating anggulo formula?

Nasagot na dito. Kailangan mo munang makahanap ng sin18 ^ @, kung saan ang mga detalye ay makukuha dito. Pagkatapos ay maaari kang makakuha ng cos36 ^ @ tulad ng ipinapakita dito.