Paano mo mahanap ang dami ng rehiyon na nakapaloob sa pamamagitan ng mga curves y = x ^ 2 - 1 at y = 0 pinaikot sa paligid ng linya x = 5?

Sagot:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Paliwanag:

Upang makalkula ang lakas ng tunog na ito, kami ay may ilang mga kahulugan upang i-cut ito sa (walang hanggan slim) hiwa.

Nakikita namin ang rehiyon, upang tulungan kami sa mga ito, nakapaloob ako sa graph kung saan ang rehiyon ay bahagi sa ilalim ng curve. Tandaan natin iyan # y = x ^ 2-1 # tumatawid sa linya # x = 5 # kung saan # y = 24 # at ito ay tumatawid sa linya # y = 0 # kung saan # x = 1 # graph {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Kapag pinutol ang rehiyon na ito sa pahalang na mga hiwa na may taas # dy # (napakaliit na taas). Ang haba ng mga hiwa na ito ay nakasalalay talaga sa y coordinate. upang kalkulahin ang haba na ito kailangan naming malaman ang distansya mula sa isang punto # (y, x) # sa linya # y = x ^ 2-1 # sa punto (5, y). Siyempre ito ay # 5-x #, ngunit gusto naming malaman kung paano ito nakasalalay sa # y #. Mula noon # y = x ^ 2-1 #, alam namin # x ^ 2 = y + 1 #, dahil mayroon kami #x> 0 # para sa rehiyon kami ay interesado sa, # x = sqrt (y + 1) #, samakatuwid ang distansya na ito ay nakasalalay sa # y #, na ipakikita natin bilang #r (y) # ay binigay ni #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Ngayon paikutin namin ang rehiyon na ito sa paligid # x = 5 #, nangangahulugan ito na ang bawat slice ay nagiging silindro na may taas # dy # at radius #r (y) #, kaya isang dami #pir (y) ^ 2dy #. Ang kailangan lang nating gawin ngayon ay idagdag ang mga maliliit na maliliit na volume na ito gamit ang pagsasama. Tandaan natin iyan # y # napupunta mula sa #0# sa #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.