Ano ang isang solusyon sa kaugalian equation dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Sagot:

Ang Pangkalahatang Solusyon ay:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Paliwanag:

Meron kami:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Maaari kaming mangolekta ng mga tuntunin para sa magkatulad na mga variable:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Alin ang isang maaaring hiwalay na Unang Ordinaryong Ordinaryong non-linear Differential Equation, upang maaari naming "paghiwalayin ang mga variable" upang makakuha ng:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Ang parehong mga integral ay ang mga karaniwang pag-andar, upang maaari naming gamitin ang kaalaman na direkta pagsamahin:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

At maaari naming madaling ayusin muli para sa # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Nangunguna sa Pangkalahatang Solusyon:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Sagot:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Paliwanag:

Ito ay isang separating kaugalian equation, na nangangahulugang ito ay maaaring nakasulat sa anyo:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Maaari itong malutas sa pamamagitan ng pagsasama ng magkabilang panig:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

Sa aming kaso, kailangan muna nating ihiwalay ang mahalaga sa tamang anyo. Maaari naming gawin ito sa pamamagitan ng paghati sa magkabilang panig ng # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Ngayon ay maaari nating isama ang magkabilang panig:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Maaari naming malutas ang kaliwang kamay mahalaga sa isang pagpapalit ng # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Ang resubstituting (at pagsasama-sama ng mga constants) ay nagbibigay ng:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Multiply magkabilang panig sa pamamagitan ng # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Hatiin ang magkabilang panig ng # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #