Paano malutas ang inte ^ xcosxdx?

Sagot:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)

Paliwanag:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Gagamitin namin ang pagsasama ng mga bahagi, na nagsasaad na #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Gamitin ang pagsasama ng mga bahagi, kasama # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, at # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Gamitin ang pagsasama ng mga bahagi muli sa pangalawang integral, na may # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, at # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Ngayon, isipin namin na tinukoy # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Kaya, ang nasa itaas na equation ay nagiging mga sumusunod (remembering upang magdagdag ng isang pare-pareho ng pagsasama):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

(X) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Gamit ang pagkakakilanlan ni de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # meron kami

int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

ngunit # 1 e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

at sa wakas

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #