Mayroon kaming: {1,2,3} -> {1,2} at g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Gaano karaming mga inisyal na f at g funtions ang umiiral?

Sagot:

# f # hindi maaaring maging injective.

# g # maaaring maging injective sa #24# mga paraan.

Paliwanag:

Ang isang pag-andar ay hindi gumagana kung walang dalawang input ang nagbibigay ng parehong output. Sa ibang salita, tulad ng

#f (x) = f (y), quad x ne y #

hindi maaaring mangyari.

Nangangahulugan ito na, sa kaso ng may wakas na domain at codomain, ang isang function ay maaaring hindi mabubuti kung at kung ang domain ay mas maliit kaysa sa codomain (o, karamihan, pantay), sa mga tuntunin ng cardinality.

Ito ang dahilan kung bakit # f # hindi maaaring maging injective. Sa katunayan, maaari mong ayusin #f (1) # hangga't gusto mo. Sabihin #f (1) = 1 #, Halimbawa. Kapag pumipili #f (2) #, hindi na natin masasabi iyan #f (2) = 1 #, o # f # ay hindi maayos. Ngunit pagdating sa #f (3) # wala kaming pagpipilian, kung sasabihin namin #f (3) = 1 # meron kami #f (1) = f (3) #, at kung sasabihin natin #f (3) = 2 # meron kami #f (2) = f (3) #.

Sa madaling salita, dapat nating asikasuhin ang isa sa dalawang posibleng ouput sa bawat isa sa tatlong input. Dapat ay maliwanag na ang mga input ay hindi maaaring magbigay ng iba't ibang mga output.

Sa kabilang kamay # g # ay maaaring maging injective, dahil mayroong "sapat na espasyo": ang bawat isa sa tatlong input ay maaaring pumili ng isa sa apat na output sa isang paraan na walang ibang mga input ay nagbibigay ng parehong output.

Ngunit gaano karaming mga paraan? Well, ipagpalagay na magsisimula na kami muli #f (1) #. Maaari naming piliin ang alinman sa apat na ouputs para sa input na ito, upang maaari naming pumili #f (1) # sa apat na paraan.

Kapag tungkol sa #f (2) #, mawawalan kami ng ilang kalayaan: maaari naming italaga ang anumang halaga sa #f (2) #, maliban sa itinakda namin #f (1) #, sa gayon kami ay may dalawang pagpipilian. Halimbawa, kung naayos na namin #f (1) = 2 #, pagkatapos #f (2) # maaaring maging alinman #1#, #3# o #4#.

Sa parehong logic, mayroon kaming dalawang pagpipilian para sa #f (3) #: mula sa apat na posibleng pagpipilian, pinamunuan natin ang mga itinalaga na #f (1) # at #f (3) #.

Kaya, maaari naming tukuyin # g # sa #4*3*2 = 24# mga paraan tulad na # g # ay di-makatwiran.