Hayaan f (x) = (x + 2) / (x + 3). Hanapin ang equation (s) ng tangent line (s) na dumadaan sa isang punto (0,6)? Sketch ang solusyon?

Sagot:

Ang mga tangents ay # 25x-9y + 54 = 0 # at # y = x + 6 #

Paliwanag:

Hayaan ang slope ng padaplis maging # m #. Ang equation ng tangent pagkatapos ay # y-6 = mx # o # y = mx + 6 #

Ngayon ipaalam sa amin makita ang punto ng intersection ng ito padaplis at ibinigay curve # y = (x + 2) / (x + 3) #. Para sa paglalagay na ito # y = mx + 6 # sa ito ay nakukuha natin

# mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # o # (mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

i.e. # mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

o # mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 #

Ito ay dapat magbigay ng dalawang halaga ng # x # ibig sabihin, dalawang punto ng interseksyon, ngunit ang tangent ay nagbabawas ng curve sa isang punto lamang. Kaya kung # y = mx + 6 # ay isang padaplis, dapat lamang magkaroon kami ng isang ugat para sa parisukat na equation, na posibleng onli kung ang diskriminasyon ay #0# i.e.

# (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

o # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

o # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

i.e. # m = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

i.e. #25/9# o #1#

at samakatuwid ay ang mga tangents # y = 25 / 9x + 6 # i.e. # 25x-9y + 54 = 0 #

at # y = x + 6 #

graph {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}