U_1, u_2, u_3, ... ay nasa Geometric progression (GP). Ang karaniwang ratio ng mga termino sa serye ay K.Ngayon matukoy ang kabuuan ng serye u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) sa anyo ng K at u_1?

Sagot:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Paliwanag:

Ang pangkalahatang termino ng isang geometriko pagpapatuloy ay maaaring nakasulat:

#a_k = a r ^ (k-1) #

kung saan # a # ang unang termino at # r # ang karaniwang ratio.

Ang kabuuan sa # n # Ang mga termino ay ibinigay sa pamamagitan ng pormula:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#kulay puti)()#

Gamit ang impormasyon na ibinigay sa tanong, ang pangkalahatang pormula para sa # u_k # ay maaaring nakasulat:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Tandaan na:

# u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Kaya:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

(k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n isang r ^ (k-1) "" # kung saan # a = u_1 ^ 2K # at #r = K ^ 2 #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2)