Integral ng 1 / sqrt (tanx) dx =?

Sagot:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

Paliwanag:

Nagsisimula kami sa isang u-pagpapalit sa # u = sqrt (tanx) #

Ang hinalaw ng # u # ay:

# (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) #

kaya hinati natin ito upang maisama nang may paggalang # u # (at tandaan, ang paghati sa isang bahagi ay katulad ng pagpaparami sa pamamagitan ng kapalit nito):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sec ^ 2x du =

# = int 2 / sec ^ 2x du #

Dahil hindi namin maisasama # x #na may paggalang sa # u #, ginagamit namin ang sumusunod na pagkakakilanlan:

# sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 #

Nagbibigay ito ng:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4)

Ang natitirang integral ay gumagamit ng isang nakakapagod na bahagi ng bahagyang pagkasira, kaya hindi ko gagawin ito dito. Tingnan ang sagot na ito kung interesado ka sa kung paano ito nagawa:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

Resubstituting para sa # u = sqrt (tanx) #, makakakuha tayo ng:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

Sagot:

# / 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln (tanx + 1-sqrt (2tanx) + 1 + sqrt (2tanx)) + c #

Paliwanag:

# I = int1 / sqrt (tanx) dx #

Hayaan, #sqrt (tanx) = t => tanx = t ^ 2 => sec ^ 2xdx = 2tdt #

# => (1 + tan ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

#:. Ako = int1 / cancelt * (2 * cancelt * dt) / (1 + t ^ 4) = int2 / (1 + t ^ 4) dt #

# = int (t ^ 2 + 1) / (1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + 1 / t ^ 2) / t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2)

# = int (1 + 1 / t ^ 2) / ((t-1 / t) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / ((t + 2) dt #

Kunin mo,# (t-1 / t) = uand (t + 1 / t) = v ## => (1 + 1 / t ^ 2) dt = duand (1-1 / t ^ 2) dt = dv ## => I = int1 / (u ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-int1 / (v ^ 2 (sqrt (2)) ^ 2) dv = 1 / sqrt (2) tan ^ 1 (sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (v-sqrt2) / (v + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t-1 / t) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t + 1 / t) -sqrt2) / ((t +# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t ^ 2-1) / (sqrt (2) t)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t ^ 2 + 1-sqrt (2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) + c #

# / 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln (tanx + 1-sqrt (2tanx) + 1 + sqrt (2tanx)) + c #