Paano ginagamit ang unang pagsubok na nanggaling upang matukoy ang lokal na extrema y = sin x cos x?

Sagot:

Ang extrema para sa # y = sin (x) cos (x) # ay

# x = pi / 4 + npi / 2 #

may # n # isang kamag-anak na integer

Paliwanag:

Maging #f (x) # ang function na kumakatawan sa pagkakaiba-iba ng # y # na may repsect sa # x #.

Maging #f '(x) # ang pinagmulan ng #f (x) #.

#f '(a) # ay ang slope ng #f (x) # curve sa # x = a # punto.

Kapag ang slope ay positibo, ang curve ay tumataas.

Kapag ang slope ay negatibo, ang curve ay bumababa.

Kapag ang slope ay null, ang curve ay mananatili sa parehong halaga.

Kapag ang curve ay umaabot sa isang extremum, ito ay titigil sa pagdaragdag / pagbaba at simulan ang pagbaba / pagtaas. Sa ibang salita, ang slope ay magmumula sa positibo sa negatibo-o negatibo sa positibong pagpapasa ng zero value.

Samakatuwid, kung hinahanap mo ang extrema ng isang function, dapat mong hanapin ang null values ng derivative nito.

N.B. May isang sitwasyon kung ang hinalaw ay null ngunit ang curve ay hindi maabot ang isang extremum: ito ay tinatawag na isang punto ng pagbabago ng tono. ang curve ay pansamantalang itigil ang pagtaas / pagbaba at pagkatapos ay ipagpatuloy ang pagtaas / pagbaba nito. Kaya dapat mo ring suriin kung ang pag-sign ng slope ay nagbago sa paligid nito null halaga.

Halimbawa: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Ngayon na mayroon kami ng formula para sa #f '(x) #, hahanapin natin ang mga null values nito:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Ang mga solusyon ay # pi / 4 + npi / 2 # may # n # isang kamag-anak na integer.

Sagot:

Kahit na plano namin na gamitin ang unang pagsubok na nanggaling, ito ay nagkakahalaga ng pagmamasid na #y = 1/2 sin (2x) #.

Paliwanag:

Ang paggawa ng pagmamasid na iyon, hindi namin talagang kailangan ang calculus upang mahanap ang extrema.

Maaari kaming umasa sa aming kaalaman sa trigonometrya at mga graph ng sinusoidal function

Ang pinakamataas na halaga (ng 1/2) ay magaganap kapag # 2x = pi / 2 + 2pik # o kung kailan #x = pi / 4 + pik # para sa # k # isang integer.

Ang minimum na nangyayari sa #x = 3pi / 4 + pik # para sa # k # isang integer.

Maaari naming gamitin ang mga hinangong, ngunit hindi namin talagang kailangan ito.

Paggamit ng Derivative

Ang pagkakaroon ng rewritten # y #, maaari naming mabilis na makita iyon #y '= cos (2x) #

Kaya ang mga kritikal na numero para sa # y # ay # 2x = pi / 2 + 2pik # at # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (kapag ang cosine ay #0#) o

# x = pi / 4 + pik # at # x = (3pi) / 4 + pik #

Sinusuri ang pag-sign ng #y '= cos (2x) #, makakahanap kami ng pinakamataas na halaga sa unang hanay ng mga kritikal na numero at pinakamababang halaga sa pangalawang.