Katibayan na N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) ay isang integer?

Sagot:

Isaalang-alang # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Ito ay may isang Real root na kung saan ay #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Paliwanag:

Isaalang-alang ang equation:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Paggamit ng paraan ni Cardano upang malutas ito, hayaan #t = u + v #

Pagkatapos:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Upang alisin ang term sa # (u + v) #, idagdag ang pagpigil # uv = 7 #

Pagkatapos:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Multiply sa pamamagitan ng # u ^ 3 # at muling ayusin upang makuha ang parisukat sa # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

sa pamamagitan ng parisukat na formula, ito ay may mga ugat:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2 (4 * 343)) / 2 #

#color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (white) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Dahil ito ay Real at ang pinagmulan ay simetriko sa # u # at # v #, maaari naming gamitin ang isa sa mga ugat na ito para sa # u ^ 3 # at ang iba pang para sa # v ^ 3 # upang mahulaan na ang tunay na zero ng # t ^ 3-21t-90 # ay:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

ngunit nakikita natin:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Kaya ang Real zero ng # t ^ 3-21t-90 # ay #6#

Kaya # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#kulay puti)()#

Talababa

Upang mahanap ang equation ng kubiko, ginamit ko ang paraan ni Cardano pabalik.

Sagot:

#N = 6 #

Paliwanag:

Paggawa #x = 45 + 29 sqrt (2) # at #y = 45-29 sqrt (2) # pagkatapos

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

kaya nga

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

o pagtawag #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # meron kami

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

may # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # at #z = 6 # ay isang ugat kaya

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #