Ano ang (mga) asymptote at butas (s), kung mayroon man, ng f (x) = xsin (1 / x)?

Sagot:

Sumangguni sa ibaba.

Paliwanag:

Well, may malinaw na isang butas sa # x = 0 #, dahil sa dibisyon #0# ay hindi posible.

Maaari naming i-graph ang pag-andar:

graph {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Walang iba pang mga asymptotes o butas.

Sagot:

#f (x) # May butas (naaalis na pagpigil) sa # x = 0 #.

Mayroon din itong horizontal asymptote # y = 1 #.

Wala itong vertical o slant asymptotes.

Paliwanag:

Ibinigay:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Gagamit ako ng ilang mga katangian ng #sin (t) #, lalo:

• #abs (sin t) <= 1 "" # para sa lahat ng mga tunay na halaga ng # t #.

• #lim_ (t-> 0) kasalanan (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # para sa lahat ng mga halaga ng # t #.

Una tandaan iyan #f (x) # ay isang kahit na pag-andar:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- kasalanan (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Nakita namin:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Kaya:

(X-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Dahil ito ay #0#, kaya naman #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Gayundin, dahil #f (x) # ay kahit na:

(x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Tandaan na #f (0) # ay hindi natukoy, dahil nagsasangkot ito ng dibisyon #0#, ngunit umiiral ang parehong mga kaliwa at kanang mga limitasyon at sumasang-ayon sa # x = 0 #, kaya mayroon itong isang butas (naaalis discontinuity) doon.

Nakikita rin namin ang:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Katulad nito:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Kaya #f (x) # May pahalang asymptote # y = 1 #

graph {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}