Patunayan na: (totoo para sa anumang positibong x, y) :? x ^ x * y ^ y> = ((x + y) / 2) ^ (x + y)

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Isaalang-alang #f (x) = x ln x #

Ang function na ito ay may convex hypograph dahil

#f '' (x) = 1 / x> 0 #

kaya sa kasong ito

#f ((x + y) / 2) le 1/2 (f (x) + f (y)) # o

# ((x + y) / 2) ln ((x + y) / 2) le 1/2 (x ln x + y ln y) # o

# ((x + y) / 2) ^ ((x + y) / 2) le (x ^ x y ^ y) ^ (1/2) #

at sa wakas ay pinapalitan ang magkabilang panig

# ((x + y) / 2) ^ (x + y) le x ^ x y ^ y #

Totoo ba o mali ang pahayag na ito, at kung mali kung paano maitama ang ginagalawan na bahagi upang maging totoo?

TRUE Given: | y + 8 | + 2 = 6 na kulay (white) ("d") -> kulay (puti) ("d") y + 8 = + - 4 Magbawas 2 mula sa magkabilang panig | y + 8 | 4 Given na para sa kondisyon ng TRUE pagkatapos ay kulay (kayumanggi) ("Kaliwang kamay side = RHS") Kaya dapat mayroon kaming: | + -4 | = + 4 Kaya y + 8 = + - 4 Kaya ang ibinigay ay totoo

"May 2 magkakasunod na integer ang Lena.Napansin niya na ang kanilang kabuuan ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga parisukat. Pinipili ni Lena ang isa pang 2 magkakasunod na integer at napapansin ang parehong bagay. Patunayan algebraically na ito ay totoo para sa anumang 2 magkakasunod na integers?

Maaring sumangguni sa Paliwanag. Alalahanin na ang magkakasunod na integer ay magkakaiba ng 1. Kaya, kung m ay isang integer, pagkatapos, ang succeeding integer ay dapat na n +1. Ang kabuuan ng dalawang integer na ito ay n + (n +1) = 2n + 1. Ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga parisukat ay (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, ayon sa ninanais! Pakiramdam ang Joy of Maths!

Sa anong pagpapaliwanag ang kapangyarihan ng anumang bilang ay nagiging 0? Tulad ng alam namin na (anumang numero) ^ 0 = 1, kaya kung ano ang magiging halaga ng x sa (anumang numero) ^ x = 0?

Tingnan sa ibaba Hayaan z ay isang kumplikadong numero na may istraktura z = rho e ^ {i phi} sa rho> 0, rho sa RR at phi = arg (z) maaari naming hilingin ang tanong na ito. Para sa kung anong halaga ng n sa RR ay nangyayari z ^ n = 0? Paggawa ng kaunti pa ^ ^ = rho ^ ne ^ {sa phi} = 0-> e ^ {sa phi} = 0 dahil sa hypothese rho> 0. Kaya gumagamit ng identidad ni Moivre e ^ {sa phi} = cos (n phi ) + i sin (n phi) pagkatapos z ^ n = 0-> cos (n phi) + i sin (n phi) = 0-> n phi = pi + 2k pi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots Sa wakas, para sa n = (pi + 2k pi) / phi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots makakakuha tayo ng z ^ n =