Ang lugar na hangganan ng curve y = 3 + 2x-x ^ 2 at ang linya y = 3 ay ganap na pinaikot tungkol sa linya y = 3. Hanapin ang dami ng solid ng rebolusyon na nakuha?

Sagot:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Paliwanag:

Ang lugar ay ang solusyon ng sistemang ito:

# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #

At ito ay sketched sa balangkas na ito:

Ang formula para sa dami ng isang solidong pag-ikot ng x-axis ay:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Upang ilapat ang formula na dapat naming isalin ang kalahating buwan sa x-axis, ang lugar ay hindi magbabago, at sa gayon ay hindi ito magbabago din ng lakas ng tunog:

# y = -x ^ 2 + 2x + 3color (pula) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# y = 3color (pula) (- 3) = 0 #

Sa ganitong paraan nakakuha tayo #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

Ang isinalin na lugar ngayon ay naka-plot dito:

Ngunit alin ang a at b ng integral? Ang mga solusyon ng sistema:

# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

Kaya # a = 0 at b = 2 #.

I-rewrite at lutasin ang mahalaga:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5/5 (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4 (4 * 0 ^ 3) / 3) #

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

At ang "limon" na ito ay ang solid na nakuha: