Ang isang tatsulok ay may vertices A (a, b), C (c, d), at O (0, 0). Ano ang equation at area ng circumscribed na bilog ng tatsulok?

Sagot:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # kung saan

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

# 2 = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)

#A = pi s #

Paliwanag:

Pangkalahatan ko ang tanong; tingnan natin kung paano ito napupunta. Iniwan ko ang isang taluktok sa pinagmulan, na ginagawang mas kaunti ang makalat, at isang arbitrary na tatsulok ay madaling isinalin.

Ang tatsulok ay siyempre ganap na hindi mahalaga sa problemang ito. Ang circumscribed na bilog ay ang bilog sa pamamagitan ng tatlong puntos, na mangyayari sa tatlong vertices. Ang tatsulok ay gumawa ng isang sorpresa hitsura sa solusyon.

Ang ilang mga terminolohiya: ang circumscribed na bilog ay tinatawag na tatsulok circumcircle at ang sentro nito ang tatsulok circumcenter.

Ang pangkalahatang equation para sa isang bilog na may sentro # (p, q) # at squared radius # s # ay

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

at ang lugar ng bilog ay #A = pi s. #

Mayroon kaming tatlong hindi alam # p, q, s # at alam natin ang tatlong punto, kaya nakakuha tayo ng tatlong equation:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # dahil ang pinagmulan ay nasa bilog.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Malutas ang sabay-sabay na equation. Let's turn them into two linear equations sa pamamagitan ng pagpapalawak at pagbabawas ng mga pares, na mga halaga sa pagkawala # p ^ 2 + q ^ 2 # sa kaliwa at # s # sa kanan.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Pagbabawas, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Katulad nito, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Iyon ay dalawang equation sa dalawang unknowns. # AX = K # May solusyon # X = A ^ {- 1} K. # Naaalala ko ang dalawa ng dalawang kabaligtaran ng matris na hindi ko alam kung paano i-format, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Para sa amin na ang ibig sabihin nito

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

at isang squad radius ng

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

(a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

# 2 = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)

kaya isang lugar ng # pi # beses na halaga na iyon.

Maaari naming makita ang expression na maging mas simetriko kung isaalang-alang namin kung ano ang mangyayari para sa arbitrary tatsulok # (A, B), (C, D), (E, F). # Itinakda namin # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ngunit hindi ko gagawin iyan ngayon.

Kukunin ko na tandaan ang numerator ng # s # ay ang produkto ng tatlong squared haba ng panig ng tatsulok, at ang denominador ng # s # ay labing-anim na beses ang squared area ng tatsulok.

Sa Rational Trigonometry squared lengths ay tinatawag na quadrances at labing-anim na beses ang tinatawag na squared area quadrea. Natagpuan namin ang quadrance ng radius ng circumcircle ay ang produkto ng quadrances ng tatsulok na hinati sa quadrea nito.

Kung kailangan lang natin ang radius o area ng circumcircle, maaari nating ibunyag ang resulta dito bilang:

Ang squad radius ng circumcircle ay ang produkto ng squared haba ng tatsulok na hinati sa labing-anim na beses ang squared area ng tatsulok.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #