Paano isama ang sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Sagot:

(x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Paliwanag:

Dahil mas madaling makitungo sa isa lamang # x # sa ilalim ng square root, nakumpleto namin ang parisukat:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Ngayon kailangan naming gawin ang isang trigonometriko pagpapalit. Gagamitin ko ang mga hyperbolic trig function (dahil ang secant integral ay karaniwang hindi masyadong maganda). Gusto naming gamitin ang sumusunod na pagkakakilanlan:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Upang gawin ito, gusto namin # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Maaari tayong malutas # x # upang makuha kung ano ang pagpapalit na kailangan natin:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Upang pagsamahin ang may paggalang sa # theta #, dapat tayong dumami sa pamamagitan ng hinangong ng # x # may kinalaman sa # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta)

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta)

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Ngayon maaari naming gamitin ang pagkakakilanlan # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Ngayon ginagamit namin ang pagkakakilanlan:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Maaari naming gawin ang isang tahasang u-pagpapalit para sa # 2cosh (2theta) #, ngunit ito ay medyo halata na ang sagot ay #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Ngayon kailangan naming i-undo ang pagpapalit. Maaari tayong malutas # theta # upang makakuha ng:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Nagbibigay ito ng:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #