Paano mo isama ang int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx gamit ang trigonometriko pagpapalit?

Sagot:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)

Paliwanag:

Ang solusyon ay medyo mahaba !!!

Mula sa ibinigay #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Tandaan na # i = sqrt (-1) # ang haka-haka na numero

Ilaan ang komplikadong numero para sa isang sandali at magpatuloy sa mahalaga

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

sa pamamagitan ng pagkumpleto ng parisukat at paggawa ng ilang pagpapangkat:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Unang Pagsasama ng Trigonometriko: ##

Ang matinding anggulo # w # na may kabaligtaran # = e ^ x + 10 # at katabing bahagi #=1# na may hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Hayaan # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

at pagkatapos

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Ang integral ay nagiging

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

mula sa trigonometrya #sec w = 1 / cos w # at #tan w = sin w / cos w #

Ang integral ay nagiging

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # at

#int (dw) / (kasalanan w-10 cos w) #

Pangalawang Trigonometriko pagpapalit:

Hayaan # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

at saka # z = tan (w / 2) #

Ang tamang tatsulok: Ang matinding anggulo # w / 2 # na may kabaligtaran # = z #

Katabi ng gilid #=1# at hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Mula sa Trigonometrya: Pag-recall ng mga formula ng half-angle

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

paglutas para sa #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Ginagamit din ang pagkakakilanlan #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

ito ay sumusunod

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

nagiging integral

(2) dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Pinadadali ang mga mahalagang resulta sa

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Sa pamamagitan ng pagkumpleto ng parisukat:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Gamitin ngayon ang formula # 2 (a) 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Hayaan # u = z + 1/10 # at # a = sqrt101 / 10 # at kabilang ang pabalik sa # i = sqrt (-1) #

Isulat ang huling sagot gamit ang mga orihinal na variable

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)