Mayroon kaming kalahating silindro ng bubong ng radius r at taas r na naka-mount sa tuktok ng apat na hugis-parihaba na pader ng taas h. Mayroon kaming 200π m ^ 2 ng plastic sheet na gagamitin sa pagtatayo ng istrakturang ito. Ano ang halaga ng r na nagpapahintulot sa maximum volume?

Sagot:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Paliwanag:

Ipaulit ko ang tanong na nauunawaan ko ito.

Ibinigay ang ibabaw na lugar ng bagay na ito ay # 200pi #, i-maximize ang lakas ng tunog.

Magplano

Alam ang lugar sa ibabaw, maaari naming kumatawan ang taas # h # bilang isang function ng radius # r #, pagkatapos ay maaari naming kumatawan dami bilang isang function ng isang parameter lamang - radius # r #.

Ang function na ito ay kailangang ma-maximize gamit # r # bilang isang parameter. Ibinibigay nito ang halaga ng # r #.

Ang lugar ng ibabaw ay naglalaman ng:

4 na mga dingding na bumubuo ng isang gilid ng isang parallelepiped sa isang perimeter ng isang base # 6r # at taas # h #, na may kabuuang lugar ng # 6rh #.

1 bubong, kalahati ng isang gilid ibabaw ng isang silindro ng isang radius # r # at hight # r #, na may lugar ng #pi r ^ 2 #

2 gilid ng bubong, kalahating bilog ng isang radius # r #, ang kabuuang lugar na kung saan ay #pi r ^ 2 #.

Ang nagresultang kabuuang ibabaw na lugar ng isang bagay ay

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Alam na ito ay katumbas ng # 200pi #, maaari naming ipahayag # h # sa mga tuntunin ng # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Ang dami ng bagay na ito ay may dalawang bahagi: Sa ibaba ng bubong at sa loob ng bubong.

Sa ibaba ng bubong kami ay may parallelepiped sa lugar ng base # 2r ^ 2 # at taas # h #, iyon ang dami nito

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ ^ 3 #

Sa loob ng bubong mayroon kaming kalahating silindro na may radius # r # at taas # r #, ang volume nito ay

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Kailangan nating mapakinabangan ang pag-andar

# V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^

na mukhang ganito (hindi sa scale)

graph {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Ang pag-andar na ito ay umaabot sa pinakamataas nito kapag ito ay derivative ay katumbas ng zero para sa isang positibong argumento.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Sa lugar ng #r> 0 # ito ay katumbas ng zero kapag # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Iyon ay ang radius na nagbibigay ng pinakamalaking dami, na ibinigay sa ibabaw na lugar at isang hugis ng isang bagay.

Ang taas ng isang pabilog na silindro ng ibinigay na lakas ng tunog ay nag-iiba-iba bilang ang parisukat ng radius ng base. Gaano karaming beses mas malaki ang radius ng isang silindro na 3 m mataas kaysa sa radius ng isang silindro 6 m mataas na may parehong volume?

Ang radius ng silindro ng 3 m mataas ay sqrt2 beses na mas malaki kaysa sa 6m mataas na silindro. Hayaan ang h_1 = 3 m ang taas at r_1 ang radius ng ika-1 silindro. Hayaan ang h_2 = 6m ang taas at r_2 ang radius ng 2nd silindro. Ang dami ng mga cylinder ay pareho. h prop 1 / r ^ 2:. h = k * 1 / r ^ 2 o h * r ^ 2 = k:. h_1 * r_1 ^ 2 = h_2 * r_2 ^ 2 3 * r_1 ^ 2 = 6 * r_2 ^ 2 o (r_1 / r_2) ^ 2 = 2 o r_1 / r_2 = sqrt2 o r_1 = sqrt2 * r_2 Ang radius of cylinder of 3 m mataas ay sqrt2 beses na mas malaki kaysa sa 6m mataas na silindro [Ans]

Ang ibabaw na lugar ng gilid ng isang karapatan silindro ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-multiply ng dalawang beses ang bilang pi sa pamamagitan ng radius ulit ang taas. Kung ang isang pabilog na silindro ay may radius f at taas h, ano ang expression na kumakatawan sa ibabaw na lugar ng gilid nito?

= 2pifh = 2pifh

Ang dalawang tatsulok na bubong ay magkatulad. Ang ratio ng mga kaukulang panig ng mga bubong na ito ay 2: 3. Kung ang altitude ng mas malaking bubong ay 6.5 piye, ano ang katumbas na altitude ng mas maliit na bubong?

Ang ratio ng mga gilid ng katulad na triangles ay katumbas ng ratio ng katumbas na altitud Kaya, 2: 3 = x: 6.5 2/3 = x / 6.5 2/3 * 6.5 = x 4.33cm approx = x