Lutasin ang palakol ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Sagot:

Isang mabilis na sketch …

Paliwanag:

Ibinigay:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # may #a! = 0 #

Ito ay nakakakuha ng makalat na masyadong mabilis, kaya magbibigay ako ng isang sketch ng isang paraan …

Multiply sa pamamagitan ng # 256a ^ 3 # at kapalit #t = (4ax + b) # upang makakuha ng isang nalulumbay monic quartic ng form:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Tandaan na dahil wala itong termino # t ^ 3 #, dapat itong kadahilanan sa anyo:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-Sa + B) (t ^ 2 + Sa + C) #

#color (white) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Equating coefficients at rearranging ng kaunti, mayroon kaming:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Kaya nakikita natin:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (puti) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (puti) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Pagpaparami, pagpaparami ng # A ^ 2 # at rearranging bahagyang, ito ay nagiging:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Ang "kubiko # A ^ 2 #"ay may hindi bababa sa isang tunay na root. Sa isip na ito ay may positibong tunay na ugat na nagbubunga ng dalawang posibleng tunay na mga halaga para sa # A #. Anuman, ang anumang ugat ng kubiko ay gagawin.

Dahil sa halaga ng # A #, meron kami:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Kaya nakakakuha tayo ng dalawang kuwadratiko upang malutas.