Kung maaari, maghanap ng isang function f tulad na grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Sagot:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Paliwanag:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Ngayon tumagal" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Pagkatapos kami ay may isa at ang parehong f, na natutugunan ang mga kondisyon." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Sagot:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Paliwanag:

Mayroon kaming mahinang notasyon sa tanong na ang del operator (o gradient operator) ay isang vector operator na kaugalian, Naghahangad kami ng isang function #f (x, y) # tulad na:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Saan #bb (grad) # ay ang gradient operator:

# "grad" f = bb (grad) f = (bahagyang f) / (bahagyang x) bb (ul hat i) + (bahagyang f) / (bahagyang x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Mula sa kung saan kinakailangan namin na:

# f_x = (bahagyang f) / (bahagyang x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (bahagyang f) / (bahagyang y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Kung isasama namin ang A wrt # x #, habang tinatrato # y # bilang isang pare-pareho pagkatapos makuha namin ang:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Kung isasama namin ang B wrt # y #, habang tinatrato # x # bilang isang pare-pareho pagkatapos makuha namin ang:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Saan #u (y) # ay isang arbitrary na function ng # y # nag-iisa, at #v (x) # ay isang arbitrary na function ng # x # nag-iisa.

Maliwanag na kailangan namin ang mga function na magkapareho, sa gayon ay mayroon kami:

(x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

At kaya napili namin #v (x) = x ^ 4 # at #u (y) = y ^ 6 #, na nagbibigay sa amin ng aming solusyon:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Maaari naming madaling kumpirmahin ang solusyon sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga bahagyang derivatives:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED