Patunayan na ang kapangyarihan set ay isang patlang?

Sagot:

Ang hanay ng kapangyarihan ng isang set ay isang commutative ring sa ilalim ng mga likas na operasyon ng unyon at intersection, ngunit hindi isang patlang sa ilalim ng mga operasyon, dahil ito ay walang mga kabaligtaran elemento.

Paliwanag:

Given anumang set # S #, isaalang-alang ang kapangyarihan set # 2 ^ S # ng # S #.

Ito ay may likas na operasyon ng unyon # uu # na kung saan behaves tulad ng karagdagan, na may isang pagkakakilanlan # O / # at intersection # nn # na kung saan behaves tulad ng pagpaparami sa isang pagkakakilanlan # S #.

Mas detalyado:

• # 2 ^ S # ay sarado sa ilalim # uu #

  Kung #A, B sa 2 ^ S # pagkatapos #A uu B sa 2 ^ S #

• May pagkakakilanlan # O / sa 2 ^ S # para sa # uu #

  Kung #A sa 2 ^ S # pagkatapos #A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # ay nakikihalubilo

  Kung #A, B, C sa 2 ^ S # pagkatapos #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # ay commutative

  Kung #A, B sa 2 ^ S # pagkatapos #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # ay sarado sa ilalim # nn #

  Kung #A, B sa 2 ^ S # pagkatapos #A nn B sa 2 ^ S #

• May pagkakakilanlan #S sa 2 ^ S # para sa # nn #

  Kung #A sa 2 ^ S # pagkatapos #A nn S = S nn A = A #

• # nn # ay nakikihalubilo

  Kung #A, B, C sa 2 ^ S # pagkatapos #A nn (Bnn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # ay commutative

  Kung #A, B sa 2 ^ S # pagkatapos #A nn B = B nn A #

• # nn # ay kaliwa at kanang distributive sa paglipas # uu #

  Kung #A, B sa 2 ^ S # pagkatapos #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  at # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Kaya # 2 ^ S # natutugunan ang lahat ng mga axiom na kinakailangan upang maging isang commutative singsing na may karagdagan # uu # at pagpaparami # nn #.

Kung #S = O / # pagkatapos # 2 ^ S # May isang elemento, katulad # O / #, kaya nabigo na magkaroon ng magkakaibang magkakasama at multiplicative na pagkakakilanlan at samakatuwid ay hindi isang patlang.

Kung hindi, pansinin iyan # S # ay walang kabaligtaran sa ilalim # uu # at # O / # ay walang kabaligtaran sa ilalim # nn #. Kaya # 2 ^ S # ay hindi bumubuo ng isang patlang dahil sa kakulangan ng kabaligtaran elemento.