Ano ang sinasabi sa iyo ng 2nd Derivative Test tungkol sa pag-uugali ng f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 sa mga kritikal na numero?

Sagot:

Ang Ikalawang Derivative Test ay nagpapahiwatig na ang kritikal na numero (punto) # x = 4/7 # nagbibigay ng lokal na minimum para sa # f # habang walang sinasabi tungkol sa likas na katangian ng # f # sa mga kritikal na numero (puntos) # x = 0,1 #.

Paliwanag:

Kung #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, pagkatapos ay sinabi ng Rule ng Produkto

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Ang pagtatakda nito ay katumbas ng zero at paglutas para sa # x # nagpapahiwatig na # f # May mga kritikal na numero (puntos) sa # x = 0,4 / 7,1 #.

Ang paggamit ng Rule ng Produkto muli ay nagbibigay ng:

(x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

(X-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Ngayon #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, at #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Samakatuwid ang Ikalawang Derivative Test ay nagpapahiwatig na ang kritikal na numero (punto) # x = 4/7 # nagbibigay ng lokal na minimum para sa # f # habang walang sinasabi tungkol sa likas na katangian ng # f # sa mga kritikal na numero (puntos) # x = 0,1 #.

Sa katunayan, ang kritikal na numero (punto) sa # x = 0 # nagbibigay ng isang lokal na maximum para sa # f # (at ang Unang Pagsubok na Pag-umpisa ay sapat na malakas upang ipahiwatig ito, kahit na ang Ikalawang Derivative Test ay walang ibinigay na impormasyon) at ang kritikal na numero (punto) sa # x = 1 # ay nagbibigay ng alinman sa isang lokal na max o min para sa # f #, ngunit isang (isa-dimensional) "punto ng siyahan".