Ano ang agwat ng tagpo ng sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Ano ang agwat ng tagpo ng sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Sagot:

#x sa (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Paliwanag:

Maaari naming tumaas na #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # ay isang geometric na serye na may ratio # r = 1 / (x (1-x)) #.

Ngayon alam namin na ang geometriko serye ay nagtatagpo kapag ang absolute value ng ratio ay mas maliit sa 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Kaya dapat nating malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:

# 1 / (x (1-x)) <1 at 1 / (x (1-x))> -1 #

Magsimula tayo sa una:

(X (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Madali nating patunayan na ang numerator ay palaging positibo at ang denominador ay negetibo sa pagitan #x sa (-oo, 0) U (1, oo) #.

Kaya ito ang solusyon para sa aming unang hindi pagkakapantay-pantay.

Tingnan natin ang ikalawa:

# X / x (1-x)) 0 #

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay may solusyon sa agwat:

#x sa (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Kaya ang aming serye ay magkatugma kung saan ito sa pagitan ay parehong totoo.

Kaya ang aming agwat ng tagpo ay:

#x sa (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Dapat bang maging negatibo ang isang function na bumababa sa isang naibigay na agwat sa parehong agwat na iyon? Ipaliwanag.

Hindi. Una, pagmasdan ang function f (x) = -2 ^ x Malinaw, ang function na ito ay bumababa at negatibo (ibig sabihin sa ibaba ng x-axis) sa ibabaw ng domain nito. Kasabay nito, isaalang-alang ang function na h (x) = 1-x ^ 2 sa pagitan ng 0 <= x <= 1. Ang pag-andar na ito ay bumababa sa nasabing agwat. Gayunpaman, hindi ito negatibo. Samakatuwid, ang isang pag-andar ay hindi kailangang maging negatibo sa agwat na ito ay bumababa sa.

Ano ang agwat ng convergence ng sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Tingnan sa ibaba. Gamit ang polinomyal na pagkakakilanlan (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) para sa abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) pagkatapos, para sa x ne k pi, k sa ZZ mayroon kaming sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Ano ang agwat ng tagpo ng sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? At ano ang kabuuan sa x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["ay ang agwat ng konvergence para sa x" "x = 3 ay wala sa agwat ng konvergence kaya sum para sa x = 3 ay" oo " ito ay isang geometriko serye sa pamamagitan ng substituting "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Pagkatapos ay mayroon kaming" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) (x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) </ 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negative)" "Positibong kaso:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x + 4 <3 (x-2) => -4 <x <3x-