Ano ang agwat ng convergence ng sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

$Ano ang agwat ng convergence ng sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?$

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Gamit ang pagkakakilanlang polinomyal

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

mayroon kami para sa #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

pagkatapos, para sa #x ne k pi, k sa ZZ # meron kami

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Dapat bang maging negatibo ang isang function na bumababa sa isang naibigay na agwat sa parehong agwat na iyon? Ipaliwanag.

Hindi. Una, pagmasdan ang function f (x) = -2 ^ x Malinaw, ang function na ito ay bumababa at negatibo (ibig sabihin sa ibaba ng x-axis) sa ibabaw ng domain nito. Kasabay nito, isaalang-alang ang function na h (x) = 1-x ^ 2 sa pagitan ng 0 <= x <= 1. Ang pag-andar na ito ay bumababa sa nasabing agwat. Gayunpaman, hindi ito negatibo. Samakatuwid, ang isang pag-andar ay hindi kailangang maging negatibo sa agwat na ito ay bumababa sa.

Ano ang agwat ng tagpo ng sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? At ano ang kabuuan sa x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["ay ang agwat ng konvergence para sa x" "x = 3 ay wala sa agwat ng konvergence kaya sum para sa x = 3 ay" oo " ito ay isang geometriko serye sa pamamagitan ng substituting "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Pagkatapos ay mayroon kaming" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) (x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) </ 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negative)" "Positibong kaso:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x + 4 <3 (x-2) => -4 <x <3x-

Ano ang agwat ng tagpo ng sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X sa (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Maaari tayong sumumayaw na sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x) ^ n ay isang geometric serye na may ratio r = 1 / (x (1-x)). Ngayon alam namin na ang geometriko serye ay nagtatagpo kapag ang absolute value ng ratio ay mas maliit sa 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Kaya dapat nating malutas ang hindi pagkakapareho na ito: 1 / (x (1-x)) <1 at 1 / (x (1-x))> -1 Magsimula tayo sa una: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x) ) (/ x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Madali nating patunayan na ang numerator ay palaging positibo at ang denominador ay negetibo sa ang pa