Ano ang lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) kasalanan (1 / x)) / x ^ 2?

Sagot:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Paliwanag:

Hayaan # y = (e ^ (2x) kasalanan (1 / x)) / x ^ 2 #

# lny = ln ((e ^ (2x) kasalanan (1 / x)) / x ^ 2) #

# lny = lne ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# lny = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = oo #

# e ^ lny = e ^ oo #

# y = oo #

Sagot:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Pakitingnan ang seksyon ng paliwanag sa ibaba.

Paliwanag:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) kasalanan (1 / x)) / x ^ 2 #

Tandaan na: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Ngayon, bilang # xrarroo #, ang unang ratio ay nagdaragdag nang walang nakatali, habang ang pangalawang napupunta sa #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) / x) #

# = oo #

Karagdagang Paliwanag

Narito ang pangangatwiran na humantong sa solusyon sa itaas.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) kasalanan (1 / x)) / x ^ 2 # May paunang form # (oo * 0) / oo #.

Ito ay isang indeterminate form, ngunit hindi namin maaaring mag-aplay l'Hospital Rule sa form na ito.

Maaari naming muling isulat ito bilang # (e ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # upang makuha ang form # oo / oo # na kung saan maaari naming ilapat ang l'Hospital. Gayunpaman, hindi ko lalo na nais na kunin ang hinangong ng denamineytor na iyon.

Alalahanin iyan #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Kaya nga #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Ito ang nagpapabago sa muling pagsusulat na ginamit sa itaas.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Bilang # x # ay nagdaragdag nang walang nakagapos, # e ^ x # napupunta sa infinity nang mas mabilis na iyon # x ^ 3 # (mas mabilis kaysa sa anumang kapangyarihan ng # x #).

Kaya, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # mas mabilis na bumubulusok.

Kung hindi mo magagamit ang katotohanang ito, gamitin ang tuntunin ng l'Hospital upang makuha

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #