Lim_ (x-> 0) kasalanan (1 / x) / (kasalanan (1 / x))?

Sagot:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Paliwanag:

hinahanap namin:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Kapag sinusuri namin ang isang limitasyon na tinitingnan namin ang pag-uugali ng function na "malapit" sa punto, hindi kinakailangan ang pag-uugali ng pag-andar "sa" punto na pinag-uusapan, kaya #x rarr 0 #, hindi mahalaga kung ano ang kailangan nating isaalang-alang kung ano ang mangyayari sa # x = 0 #, Kaya makuha namin ang walang kuwenta resulta:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Para sa kalinawan isang graph ng function upang maisalarawan ang pag-uugali sa paligid # x = 0 #

graph {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Ito ay dapat na malinaw na ang pag-andar # y = sin (1 / x) / kasalanan (1 / x) # ay hindi natukoy sa # x = 0 #

Sagot:

Mangyaring tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Ang mga kahulugan ng limitasyon ng isang function na ginagamit ko ay katumbas ng:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # kung at tanging ng Para sa bawat positibo # epsilon #, may positibo # delta # tulad na para sa bawat # x #, kung # 0 <abs (x-a) <delta # pagkatapos #abs (f (x) - L) <epsilon #

Dahil sa kahulugan ng "#abs (f (x) - L) <epsilon #", ito ay nangangailangan na para sa lahat # x # may # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # ay tinukoy.

Iyon ay, para sa kinakailangan # delta #, lahat ng # (a-delta, a + delta) # maliban sa posibleng # a #, ay nasa domain ng # f #.

Ang lahat ng ito ay nakakakuha sa amin:

#lim_ (xrarra) f (x) # umiiral lamang kung # f # ay tinukoy sa ilang bukas na agwat na naglalaman # a #, maliban marahil sa # a #.

(# f # dapat tukuyin sa ilang natanggal na bukas na kapitbahayan ng # a #)

Samakatuwid, #lim_ (xrarr0) kasalanan (1 / x) / kasalanan (1 / x) # ay hindi umiiral.

Ang isang halos walang kuwenta halimbawa

#f (x) = 1 # para sa # x # isang hindi makatwiran tunay (hindi natukoy para sa rationals)

#lim_ (xrarr0) f (x) # ay hindi umiiral.