Ano ang mga solusyon sa (z-1) ^ 3 = 8i?

Sagot:

#z sa {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Paliwanag:

Para sa problemang ito, kakailanganin naming malaman kung paano hanapin ang # n ^ "ika" # mga ugat ng isang kumplikadong numero. Upang gawin ito, gagamitin namin ang pagkakakilanlan

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Dahil sa pagkakakilanlan na ito, maaari naming kumatawan ang anumang kumplikadong numero bilang

# a + bi = Re ^ (itheta) # kung saan #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # at #theta = arctan (b / a) #

Ngayon kami ay pumunta sa mga hakbang upang mahanap ang # 3 ^ "rd" # mga ugat ng isang kumplikadong numero # a + bi #. Ang mga hakbang para sa paghahanap ng # n ^ "ika" # katulad ng mga ugat.

Given # a + bi = Re ^ (itheta) # hinahanap natin ang lahat ng mga kumplikadong numero # z # tulad na

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Bilang # z # ay isang kumplikadong numero, umiiral na # R_0 # at # theta_0 # tulad na

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Pagkatapos

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Mula dito, kaagad kami # R_0 = R ^ (1/3) #. Maaari din nating tugma ang mga exponents ng # e #, ngunit isinasaalang-alang na ang sine at cosine ay panaka-nakang panahon # 2pi #, pagkatapos ay mula sa orihinal na pagkakakilanlan, # e ^ (itheta) # ay magiging pati na rin. Pagkatapos ay mayroon kami

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # kung saan #k sa ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # kung saan #k sa ZZ #

Gayunpaman, gaya ng patuloy naming idaragdag # 2pi # paulit-ulit, magkakaroon kami ng parehong mga halaga, maaari naming huwag pansinin ang mga kalabisan halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng paghihigpit # theta_0 sa 0, 2pi) #, yan ay, #k sa {0, 1, 2} #

Ang paglalagay ng lahat ng sama-sama, makuha namin ang solusyon na itinakda

3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Maaari naming i-convert ito pabalik sa # a + bi # form kung gusto ninyong gamitin ang pagkakakilanlan

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Paglalapat ng nasa itaas sa problemang nasa kamay:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Gamit ang proseso sa itaas, maaari naming mahanap ang # 3 ^ "rd" # Roots ng # i #:

(i / 5), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Pag-aaplay # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # meron kami

# i ^ (1/3) sa {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Sa wakas, binago namin ang mga halagang ito para sa #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z sa {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1}

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #