Paano mo mahanap ang lugar na bounded sa pamamagitan ng curves y = -4sin (x) at y = kasalanan (2x) sa ibabaw ng closed interval mula 0 hanggang pi?

Sagot:

Suriin

# int_0 ^ π | -4sin (x) -in (2x) | dx #

Ang lugar ay: #8#

Paliwanag:

Ang lugar sa pagitan ng dalawang patuloy na pag-andar #f (x) # at #g (x) # higit sa #x sa a, b # ay:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Samakatuwid, dapat nating makita kung kailan #f (x)> g (x) #

Hayaan ang mga curves ay ang mga function:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Alam na #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Hatiin mo #2# kung saan ay positibo:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Hatiin mo # sinx # nang hindi binabalik ang tanda, dahil #sinx> 0 # sa bawat #x sa (0, π) #

# -2> cos (x) #

Alin ang imposible, dahil:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Kaya ang unang pahayag ay hindi totoo. Samakatuwid, #f (x) <= g (x) # sa bawat #x sa 0, π #

Ang integral ay kinakalkula:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (kasalanan (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (kasalanan (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#