# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # ay nasa anyo # y ^ 2-2y + 1 # kung saan #y = x ^ 3 #.
Ang parisukat na pormula sa # y # mga kadahilanan tulad ng sumusunod:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y-1) ^ 2 #
Kaya # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3-1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Kaya # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # walang mga linear na kadahilanan na may tunay na coefficients. Upang suriin ang pabatid na ito ay sa form # ax ^ 2 + bx + c #, na may discriminant:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Ang pagiging negatibo, ang equation # x ^ 2 + x + 1 = 0 # ay walang tunay na ugat.
Ang isang paraan ng pagsuri sa sagot ay ang kapalit ng isang halaga para sa # x # na hindi isang ugat sa magkabilang panig at tingnan kung nakakuha tayo ng parehong resulta:
Subukan # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Ihambing ang:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Well na nagtrabaho!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # ay medyo madali sa kadahilanan, dahil ito ay isang perpektong parisukat. Paano ko malalaman ito? Ito ay isang trinomial sa anyo # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, at lahat ng trinomial sa form na iyon ay perpektong mga parisukat.
Ito trinomial ay ang perpektong parisukat ng # (x ^ 3-1) #. Upang masuri ang aking trabaho, ako ay magtrabaho paurong:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3-1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Kaya, ito trinomial ay may mga kadahilanan ng #1#, # x ^ 3 - 1 #, at # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Gayunpaman, dahil ito ay itinuturo sa akin, # (x ^ 3-1) # Mayroon ding mga kadahilanan. Dahil ito ay isang binomial ng form # a ^ 3 - b ^ 3 #, maaari rin itong isulat bilang # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Kaya, # (x ^ 3-1) # mga kadahilanan # (x - 1) # at # (x ^ 2 + x + 1) #, na kapwa mga kalakasan.
Ang mga kadahilanan ng # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # ay:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Mas partikular, ang PRIME factorization ng # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # ay:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
