Ano ang kabuuan ng (ln (xe ^ x)) / x?

Sagot:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Paliwanag:

Kami ay binibigyan ng:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Paggamit #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Paggamit #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Paggamit #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Hatiin ang fraction (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Pagkakahati ng mga sumasama na integrals:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

Ang pangalawang integral ay simple #x + C #, kung saan # C # ay isang di-makatwirang pare-pareho. Ang unang integral, ginagamit namin # u #-pagkatapos:

Hayaan #u equiv ln (x) #, kaya nga #du = 1 / x dx #

Paggamit # u #-pagkatapos:

# = int udu + x + C #

Pagsasama (ang di-makatwirang pare-pareho # C # maaaring makuha ang di-makatwirang pare-pareho ng unang walang-katiyakan na mahalaga:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Substituting back sa mga tuntunin ng # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Sagot:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Paliwanag:

Nagsisimula kami sa pamamagitan ng paggamit ng sumusunod na pagkakakilanlan ng logarithm:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Ang paglalapat nito sa kabuuan, makakakuha tayo ng:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Upang suriin ang natitirang integral, ginagamit namin ang pagsasama ng mga bahagi:

# x f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x)

Hahayaan ko #f (x) = ln (x) # at #g '(x) = 1 / x #. Pagkatapos ay maaari nating kumpirmahin na:

#f '(x) = 1 / x # at #g (x) = ln (x) #

Maaari naming ilapat ang pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi ng formula upang makakuha ng:

(x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Dahil mayroon kaming mahalaga sa magkabilang panig ng magkatulad na pag-sign, maaari naming malutas ito tulad ng isang equation:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Pag-plug pabalik sa orihinal na expression, makuha namin ang aming pangwakas na sagot:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #