Solve para sa x sa RR ang equation sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Sagot:

#x sa 5, 10 #

Paliwanag:

Hayaan # u = x-1 #. Pagkatapos ay maaari naming muling isulat ang kaliwang bahagi ng equation bilang

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Tandaan ang pagkakaroon ng #sqrt (u) # sa equation at naghahanap lamang kami ng mga tunay na halaga, kaya mayroon kaming paghihigpit #u> = 0 #. Sa pamamagitan nito, tatalakayin natin ngayon ang lahat ng natitirang mga kaso:

Kaso 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Kaya naman # u = 4 # ay ang tanging solusyon sa agwat #0, 4#

Kaso 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Bilang ito ay isang tautolohiya, ang bawat halaga sa #4, 9# ay isang solusyon.

Kaso 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Kaya naman #u = 9 # ay ang tanging solusyon sa agwat # 9, oo) #

Nakakuha magkasama, mayroon kami #4, 9# bilang solusyon na itinakda para sa mga tunay na halaga ng # u #. Pagpapalit sa #x = u + 1 #, nakarating kami sa huling solusyon #x sa 5, 10 #

Sa pagtingin sa graph ng kaliwang bahagi, tumutugma ito sa kung ano ang inaasahan namin: