Hanapin ang lugar ng may kulay na rehiyon?

Sagot:

Mangyaring tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Kapag kami ay unang natutunan upang makahanap ng mga lugar sa pamamagitan ng pagsasama, tumatagal kami ng mga kinatawan na mga parihaba patayo.

Ang mga parihaba ay may base # dx # (isang maliit na pagbabago sa # x #) at taas na katumbas ng mas malaki # y # (ang isa sa itaas na curve) minus ang mas maliit # y # halaga (ang isa sa mas mababang curve). Pagkatapos namin isama mula sa pinakamaliit # x # halaga sa pinakadakila # x # halaga.

Para sa bagong problemang ito, maaari kaming gumamit ng dalawang ganoong mga pag-aaral (Tingnan ang sagot ni Jim S), ngunit napakahalaga na matutunan upang buksan ang aming pag-iisip #90^@#.

Gagawa kami ng kinatawan na mga parihaba horiontally.

Ang mga parihaba ay may taas # dy # (isang maliit na pagbabago sa # y #) at mga base na katumbas ng mas malaki # x # (ang isa sa pinakamahabang curve) minus ang mas maliit # x # halaga (ang isa sa kaliwa curve). Pagkatapos namin isama mula sa pinakamaliit # y # halaga sa pinakadakila # y # halaga.

Pansinin ang duality

#: ("vertical", iff, "horizontal"), (dx, iff, dy), ("upper", iff, "rightmost"), ("lower", iff, "leftmost" iff, y):} #

Ang pariralang "mula sa pinakamaliit # x # halaga sa pinakadakila # x # halaga. "ay nagpapahiwatig na isinama natin ang kaliwa hanggang kanan. (Sa direksyon ng pagtaas # x # mga halaga.)

Ang pariralang "mula sa pinakamaliit # y # halaga sa pinakadakila # y # halaga "ay nagpapahiwatig na isinasama natin ang ibaba sa itaas. (Sa direksyon ng pagtaas # y # mga halaga.)

Narito ang isang larawan ng rehiyon na may isang maliit na parihaba ipinahiwatig:

Ang lugar ay

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Sagot:

Ang lugar ng may kulay na rehiyon ay # 1m ^ 2 #

Paliwanag:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (maaari naming makita mula sa graph)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (maaari rin nating makita mula sa graph)

Ang isa sa maraming mga paraan na maaaring ipahayag ang lugar ng may kulay na rehiyon ay ang lugar ng tatsulok # AhatOB = Ω # hindi kasama ang lugar na cyan kung saan ako tatawag #color (cyan) (Ω_3) #

Hayaan #Ω_1# maging ang itim na lugar na ipinapakita sa graph at #color (green) (Ω_2) # ang berdeng lugar na ipinapakita sa graph.

Ang lugar ng maliit na tatsulok # ChatAD = # #color (green) (Ω_2) # magiging:

• #color (green) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Ang lugar ng #Ω_1# magiging:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 =

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Bilang isang resulta, ang may kulay na lugar ay magiging

• #Ω_1## + kulay (green) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #