Paano mo mahanap ang antiderivative ng dx / (cos (x) - 1)?

Sagot:

Gumawa ng ilang mga conjugate multiplikasyon, ilapat ang ilang mga trig, at tapusin upang makakuha ng isang resulta ng # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Paliwanag:

Tulad ng karamihan sa mga problema sa ganitong uri, malulutas natin ito gamit ang isang lohika na pagdami ng pagpaparami. Tuwing mayroon kang isang bagay na nahahati sa pamamagitan ng isang bagay plus / minus isang bagay (tulad ng sa # 1 / (cosx-1) #), laging kapaki-pakinabang na subukan ang pagdami ng pagpapalaki, lalo na sa mga trig function.

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpaparami # 1 / (cosx-1) # ng conjugate ng # cosx-1 #, na kung saan ay # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Maaari kang magtaka kung bakit ginagawa namin ito. Ito ay upang maaari naming mag-aplay ang pagkakaiba ng mga parisukat na ari-arian, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, sa denamineytor, upang gawing simple ang isang maliit. Bumalik sa problema:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (white) (III) acolor (white) (XXX) bcolor (white) (XXX) acolor (white)

Pansinin kung paano ito talaga # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Ngayon, kumusta naman # cos ^ 2x-1 #? Well, alam namin # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Let's multiply that by #-1# at tingnan kung ano ang aming nakuha:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Ito ay lumiliko na # -in ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, kaya't palitan natin # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Katumbas ito # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -in ^ 2x #, kung saan, gamit ang ilang mga trig, bumababa sa # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

Sa puntong ito, pinasimple namin ang integral # int1 / (cosx-1) dx # sa # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Gamit ang sum rule, ito ay nagiging:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Ang una sa mga ito ay # cscx # (dahil ang hinango ng # cscx # ay # -cotxcscx #) at ang pangalawa ay # cotx # (dahil ang hinango ng # cotx # ay # -csc ^ 2x #). Idagdag sa pare-pareho ng pagsasama # C # at mayroon kang solusyon:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Ipakita na cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Ako ay medyo nalilito kung gumawa ako Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), ito ay magiging negatibo bilang cos (180 ° -theta) = - costheta sa ang pangalawang kuwadrante. Paano ko mapapatunayan ang tanong?

Mangyaring tingnan sa ibaba. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Upang mahanap ang bilis ng isang kasalukuyang. Ang siyentipiko ay maglalagay ng isang paddle wheel sa stream at obserbahan ang rate kung saan ito rotates. Kung ang paddle wheel ay may radius ng 3.2 m at rotates 100 rpm paano mo mahanap ang bilis?

Ang bilis ng kasalukuyang ay = 33.5ms ^ -1 Ang radius ng gulong ay r = 3.2m Ang pag-ikot ay n = 100 "rpm" Ang angular velocity ay omega = 2pin / 60 = 2 * pi * 100/60 = 10.47 rads ^ -1 Ang bilis ng kasalukuyang ay v = omegar = 10.47 * 3.2 = 33.5ms ^ -1

Paano mo mahanap ang antiderivative ng cos ^ 4 (x) dx?

Gusto mong hatiin ito gamit ang mga pagkakakilanlan ng trigyo upang makakuha ng magandang, madaling integral. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Maaari naming harapin ang kos ^ 2 (x) madaling sapat sa pamamagitan ng pag-aayos ng double angle cosine formula. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (4x) Kaya, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * kasalanan (2x) + 1/32 * kasalanan (4x) + C