Ano ang pangkalahatang formula para sa discriminant ng isang polinomyal ng degree n?

Sagot:

Tingnan ang paliwanag …

Paliwanag:

Ang discriminant ng isang polinomyal #f (x) # ng degree # n # ay maaaring inilarawan sa mga tuntunin ng determinant ng Sylvester matrix ng #f (x) # at #f '(x) # tulad ng sumusunod:

Ibinigay:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Meron kami:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Ang Sylvester matrix ng #f (x) # at #f '(x) # ay isang # (2n-1) xx (2n-1) # matrix binuo gamit ang kanilang mga coefficients, katulad ng sumusunod na halimbawa para sa # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Pagkatapos ay ang discriminant # Delta # ay ibinigay sa mga tuntunin ng determinant ng Sylvester matrix sa pamamagitan ng formula:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Para sa # n = 2 # meron kami:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(na kung saan maaari kang makahanap ng mas makikilala sa form #Delta = b ^ 2-4ac #)

Para sa # n = 3 # meron kami:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (white) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Ang mga discriminants para sa mga quadratics (# n = 2 #) at cubics (# n = 3 #) ay ang pinaka-kapaki-pakinabang sa na sinasabi nila sa iyo nang eksakto kung gaano karaming mga real, paulit-ulit o di-totoong kumplikadong mga zero na polinomyal ang mayroon.

Ang interpretasyon ng diskriminant para sa mas mataas na polynomial na order ay mas limitado, ngunit palaging may ari-arian na ang polinomyal ay paulit-ulit na zero kung at kung ang diskriminant ay zero lamang.

#kulay puti)()#

Karagdagang pagbabasa

Tingnan ang