Kung f (x) = x tan ^ -1then f (1) ay ano?

Sagot:

# f (1) # kung saan #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Paliwanag:

Kukunin ko na ang tanong ay #f (1) # kung saan #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Karaniwan gusto kong gamutin ang # arctan # bilang multivalued. Ngunit dito na may tahasang notasyon ng pag-andar #f (x) # Sasabihin ko na gusto natin ang pangunahing halaga ng kabaligtaran na padapuan. Ang anggulo na may padaplis 1 sa unang kuwadrante ay # 45 ^ circ # o # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Iyan ang katapusan. Ngunit ipaalam ang tanong bukod, at tumuon sa kung ano #arctan t # talagang ibig sabihin nito.

Karaniwang iniisip ko #tan ^ -1 (t) # o katumbas (at sa tingin ko ay mas mahusay na notasyon) #arctan (t) # bilang isang multivalued expression. Ang "function" arctan ay hindi talaga isang function, dahil ito ay ang kabaligtaran ng isang bagay na pana-panahon, na hindi maaaring magkaroon ng isang kabaligtaran sa buong buong domain nito.

Ito ay talagang nakakalito para sa mga estudyante at guro. Lahat ng isang biglaang mayroon kaming mga bagay na mukhang mga pag-andar na hindi talagang mga pag-andar. Sila ay medyo slipped sa ilalim ng radar. Kinakailangan ang mga bagong alituntunin para sa pagharap sa mga ito, ngunit hindi ito malinaw na nakasaad. Ang matematika ay nagsisimula upang makakuha ng fuzzy kapag hindi ito dapat.

# x = arctan t # ay pinakamahusay na naisip bilang ang mga solusyon sa #tan x = t. # Mayroong isang bilang ng walang katapusang bilang ng mga ito, isa sa bawat panahon. Tangent ay may panahon ng # pi # kaya ang mga solusyon ay # pi # bukod, kung saan ay ang #pi k # ay nagmula sa, integer # k #.

Karaniwang isusulat ko ang pangunahing halaga ng kabaligtaran na padapuan ng Arctan, na may isang capital A. Sa kasamaang palad Socratic patuloy na "pagwawasto" ito. I'll fudge it here:

#t = tan x # May mga solusyon

#x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad # para sa integer # k #.