Hanapin ang mga halaga ng x kung saan ang mga sumusunod na serye ay nagtatagpo?

Sagot:

#1<>

Paliwanag:

Kapag sinusubukan mong matukoy ang radius at / o agwat ng convergence ng serye ng kapangyarihan tulad ng mga ito, pinakamahusay na gamitin ang Ratio Test, na nagsasabi sa amin para sa isang serye # suma_n #, hayaan natin

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Kung #L <1 # ang serye ay ganap na nagtatagpo (at samakatuwid ay nagtatagpo)

Kung #L> 1 #, ang mga serye ay diverges.

Kung # L = 1, # ang Ratio Test ay walang tiyak na paniniwala.

Para sa Power Series, gayunpaman, ang tatlong mga kaso ay posible

a. Ang kapangyarihan serye converges para sa lahat ng mga tunay na numero; Ang agwat ng tagpo ay # (- oo, oo) #

b. Ang kapangyarihan serye converges para sa ilang mga numero # x = a; # ang radius ng convergence ay zero.

c. Ang pinaka-madalas na kaso, ang serye ng kapangyarihan ay nagtatagpo para sa # | x-a |<> na may isang agwat ng tagpo ng # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Kaya, kung # | 2x-3 | <1 #, ang serye ay nagtatagpo. Ngunit kailangan namin ito sa anyo # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # mga resulta sa tagpo. Ang radius ng convergence ay # R = 1 / 2. #

Ngayon, alamin natin ang agwat:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Kailangan nating i-plug # x = 1, x = 2 # sa orihinal na serye upang makita kung mayroon kaming tagpo o pagkakaiba sa mga endpoint na ito.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # diverges, ang summand ay walang limitasyon at tiyak na hindi pumunta sa zero, ito lamang alternates palatandaan.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # diverges pati na rin sa pamamagitan ng Divergence Test, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo para sa #1<>

Maaari naming gamitin ang ratio ng pagsubok na nagsasabing kung mayroon kaming isang serye

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

ito ay talagang nagtatagpo kung:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n +1) / a_n | <1 #

Sa kaso natin, # a_n = (2x-3) ^ n #, kaya tinitingnan namin ang limitasyon:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) kanselahin ((2x-3) ^ n)) / kanselahin ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Kaya, kailangan nating suriin kung kailan # | 2x-3 | # ay mas kaunti sa #1#:

Nagkamali ako rito, ngunit ang sagot sa itaas ay may parehong paraan at isang tamang sagot, kaya tingnan lamang sa halip.