Patunayan na ang lilang shaded area ay katumbas ng lugar ng incircle ng equilateral triangle (dilaw na guhit na bilog)?

Sagot:

Paliwanag:

Ang lugar ng incircle ay # pir ^ 2 #.

Pagkilala sa tamang tatsulok na may hypotenuse # R # at binti # r # sa base ng equilateral triangle, sa pamamagitan ng trigonometrya o mga katangian ng #30 -60 -90 # karapatan triangles maaari naming itatag ang relasyon na # R = 2r #.

Tandaan na ang anggulo ay kabaligtaran # r # ay #30 # dahil ang equilateral triangle #60 # anggulo ay bisected.

Ang parehong tatsulok na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng Pythagorean teorama upang ipakita na ang kalahati ng haba ng gilid ng equilateral triangle ay #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Ngayon sinusuri ang kalahati ng equilateral triangle bilang isang tuwid na tatsulok, nakita natin na ang taas # h # ng equilateral triangle ay maaaring malutas para sa mga tuntunin ng # r # gamit ang relasyon #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Mula noon #tan (60) = sqrt3 #, ito ay nagiging # h / (rsqrt3) = sqrt3 # kaya nga # h = 3r #.

Ang lugar ng equilateral na tatsulok ay pagkatapos # 1 / 2bh #, at ang base nito ay # 2rsqrt3 # at taas nito # 3r #. Kaya, ang lugar nito ay # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Ang lugar ng mas maliit na kulay na rehiyon ay katumbas ng isang-ikatlo sa lugar ng equilateral triangle na minus ang incircle, o # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # na katumbas ng # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Ang lugar ng mas malaking bilog ay # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Ang lugar ng mas malaking kulay na rehiyon ay isang-ikatlo na ang lugar ng mas malaking bilog na minus sa lugar ng equilateral triangle, o # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # na nagpapadali # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Pagkatapos ay ang kabuuang lugar ng may kulay na lugar # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, na katumbas ng lugar ng incircle.

Sagot:

Paliwanag:

Para sa isang equilateral triangle sentro ng gravity, sentro ng circumcircle at orthocenter magkasalubong.

Kaya ang Radius ng cicumcircle (R) at radius ng incircle (r) ay magkakaroon ng sumusunod na kaugnayan

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Ngayon mula sa figure ito ay halata na lugar ng BIG purple na kulay na rehiyon# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

At lugar ng maliit na lilim na may kulay na rehiyon# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

kung saan #Delta # ay kumakatawan sa lugar ng equilateral triangle.

Kaya

#color (purple) ("TOTAL area ng BIG at SMALL purple shaded region" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Pagpasok ng R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> kulay (orange) "Area ng dilaw na guhit na bilog" #