Isaalang-alang ang 3 magkatulad na mga bilog ng radius r sa loob ng isang ibinigay na bilog ng radius R bawat upang pindutin ang iba pang dalawa at ang ibinigay na bilog tulad ng ipinakita sa figure, at pagkatapos ay ang lugar ng may kulay na rehiyon ay katumbas ng?

Maaari naming bumuo ng isang expression para sa lugar ng kulay na rehiyon tulad nito:

#A_ "shaded" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

kung saan #A_ "center" # ay ang lugar ng maliit na seksyon sa pagitan ng tatlong mas maliit na lupon.

Upang mahanap ang lugar na ito, maaari kaming gumuhit ng isang tatsulok sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga sentro ng tatlong mas maliit na puting lupon. Dahil ang bawat bilog ay may radius ng # r #, ang haba ng bawat panig ng tatsulok ay # 2r # at ang tatsulok ay equilateral kaya may mga anggulo ng # 60 ^ o # bawat isa.

Kaya nating masasabi na ang anggulo ng gitnang rehiyon ay ang lugar ng tatsulok na ito na minus ang tatlong sektor ng bilog. Ang taas ng tatsulok ay simple #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, kaya ang lugar ng tatsulok ay # 1/2 * base * height = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Ang lugar ng tatlong mga segment ng bilog sa loob ng tatsulok na ito ay mahalagang bahagi ng kalahati ng isa sa mga lupon (dahil sa pagkakaroon ng mga anggulo ng # 60 ^ o # bawat, o #1/6# isang bilog, upang maaari naming pagbatayan ang kabuuang lugar ng mga sektor na ito # 1/2 pir ^ 2 #.

Sa wakas, maaari nating paganahin ang lugar ng sentrong rehiyon upang maging #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Sa gayon ay babalik sa aming orihinal na expression, ang lugar ng may kulay na rehiyon ay

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Sagot:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Paliwanag:

Ibigay natin ang mga puting lupon ng radius ng # r = 1 #. Ang mga sentro ay bumubuo ng isang equilateral na tatsulok ng panig #2#. Ang bawat panggitna / altitude ay #sqrt {3} # kaya ang layo mula sa isang kaitaasan sa centroid ay # 2/3 sqrt {3} #.

Ang centroid ay ang sentro ng malaking bilog kaya na ang distansya sa pagitan ng sentro ng malaking bilog at ang sentro ng maliit na bilog. Nagdagdag kami ng maliit na radius ng # r = 1 # upang makakuha

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Ang lugar na hinahanap namin ay ang lugar ng malaking bilog na mas mababa ang equilateral triangle at ang natitira #5/6# ng bawat maliit na bilog.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Nakasalansan natin # r ^ 2 # sa pangkalahatan.