Patunayan na ang function na ay hindi lim sa x_0 = 0? + Halimbawa

Sagot:

Tingnan ang paliwanag.

Paliwanag:

Ayon sa kahulugan ni Heine sa limitasyon ng function na mayroon tayo:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Kaya upang ipakita na ang isang function ay HINDI limitahan sa # x_0 # kailangan nating makahanap ng dalawang mga pagkakasunud-sunod # {x_n} # at # {bar (x) _n} # ganoon, iyan

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

at

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #

Sa ibinigay na halimbawa tulad ng mga pagkakasunud-sunod ay maaaring:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # at #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Parehong pagkakasunud-sunod ang magkakasabay # x_0 = 0 #, ngunit ayon sa formula ng pag-andar mayroon kami:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

dahil ang lahat ng mga elemento # x_n # ay nasa #1,1/2,1/4,…#

at para sa #bar (x) _n # meron kami:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

ngunit para sa lahat #n> = 2 # meron kami: #f (bar (x) _n) = 1 #

Kaya para sa #n -> + oo # meron kami:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Ang parehong mga pagkakasunod-sunod coverge sa # x_0 = 0 #, ngunit ang mga limitasyon (*) at (**) ay HINDI pantay, kaya ang limitasyon #lim_ {x-> 0} f (x) # ay hindi umiiral.

QED

Ang limitasyon ng kahulugan ay matatagpuan sa Wikipedia sa:

Sagot:

Narito ang isang patunay gamit ang pag-aalinlangan ng kahulugan ng pagkakaroon ng isang limitasyon.

Paliwanag:

Maiksing bersyon

#f (x) # hindi maaaring lumapit sa isang solong numero # L # dahil sa anumang kapitbahayan ng #0#, ang pag-andar # f # tumatagal sa mga halaga na naiiba mula sa bawat isa sa pamamagitan ng #1#.

Kaya kahit na ano ang hinahangad ng isang tao # L #, may mga puntos # x # malapit #0#, kung saan #f (x) # ay hindi bababa sa #1/2# yunit mula sa # L #

Mahabang bersyon

#lim_ (xrarr0) f (x) # umiiral kung at tanging kung

mayroong isang numero, # L # tulad ng para sa lahat #epsilon> 0 #, meron isang #delta> 0 # tulad na para sa lahat # x #, # 0 <abs (x) <delta # nagpapahiwatig #abs (f (x) -L) <epsilon #

Ang negatibong ito ay:

#lim_ (xrarr0) f (x) # hindi na umiiral kung at tanging kung

para sa bawat numero, # L # may isang #epsilon> 0 #, tulad na para sa lahat #delta> 0 # may isang # x #, ganoon nga # 0 <abs (x) <delta # at #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Given isang numero # L #, Hahayaan ko #epsilon = 1/2 # (anumang mas maliit # epsilon # ay gagana rin)

Ngayon ay nabigyan ng positibo # delta #, Dapat kong ipakita na mayroong isang # x # may # 0 <absx <delta # at #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (tandaan iyon #epsilon = 1/2 #)

Given isang positibo # delta #, kalaunan # 1/2 ^ n <delta # kaya may isang # x_1 # may #f (x_1) = 2 #.

Mayroon ding elemento # x_2 sa RR- {1, 1/2, 1/4,… } # may # 0 <x_2 <delta # at #f (x_2) = 1 #

Kung #L <= (1/2) #, pagkatapos #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Kung #L> = (1/2) #, pagkatapos #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #