Ano ang extrema at mga punto ng siyahan ng f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Sagot:

Paliwanag:

Meron kami:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Hakbang 2 - Kilalanin ang Mga Kritikal na Punto

Ang isang kritikal na punto ay nangyayari sa isang sabay-sabay na solusyon ng

# f_x = f_y = 0 iff (bahagyang f) / (bahagyang x) = (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 #

i.e, kapag:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 =

# = = (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Ang paglutas ng A at B nang sabay-sabay, nagkakaroon tayo ng isang solong solusyon:

# x = y = 1 #

Kaya maaari naming tapusin na mayroong isang kritikal na mga punto:

# (1,1) #

Hakbang 3 - I-classify ang mga kritikal na punto

Upang mai-uri-uri ang mga kritikal na punto ay nagsasagawa kami ng isang pagsubok na katulad ng isang variable na calculus gamit ang pangalawang bahagyang derivatives at ang Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x ^ 2), (bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x bahagyang y)), ((bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang y bahagyang x)) / (bahagyang y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Pagkatapos ay depende sa halaga ng # Delta #:

# {: (Delta> 0, "May pinakamataas kung" f_ (xx) <0), (, "at isang minimum kung" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "mayroong isang saddle point"), (Delta = 0, "Ang karagdagang pagsusuri ay kinakailangan"):} #

Ang paggamit ng pasadyang excel macros ang mga halaga ng pag-andar kasama ang mga bahagyang hinalaw na halaga ay kinukuwenta bilang mga sumusunod: