Hayaan ang S ay isang parisukat ng yunit ng lugar. Isaalang-alang ang anumang may apat na gilid na may isang tuktok sa bawat panig ng S. Kung ang isang, b, c at d ay nagpapahiwatig ng haba ng gilid ng may apat na gilid, patunayan na ang 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Hayaan #A B C D# maging isang parisukat na yunit ng yunit.

Kaya # AB = BC = CD = DA = 1 # yunit.

Hayaan # PQRS # maging isang may apat na gilid na may isang kaitaasan sa bawat panig ng parisukat. Narito hayaan # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Ang paglalapat ng Pythagoras thorem maaari naming isulat

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# ^ x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Ngayon sa pamamagitan ng problema na mayroon kami

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Kaya nga

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #