Ano ang lokal na maxima at minima ng f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Sagot:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ang function na ito ay may vertical asymptote sa # x = 2 #, mga diskarte #1# mula sa itaas bilang x napupunta sa # + oo # (pahalang asymptote) at mga diskarte #1# mula sa ibaba bilang x papunta sa # -oo #. Ang lahat ng mga derivatives ay hindi natukoy sa # x = 2 # din. Mayroong isang lokal na minima sa # x = 0 #, # y = 0 # (Lahat ng problema para sa pinagmulan!)

Tandaan baka gusto mong suriin ang aking matematika, kahit na ang pinakamahusay sa amin ay bumaba sa mga kakaibang negatibong pag-sign at ito ay isang mahabang tanong.

Paliwanag:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ang function na ito ay may vertical asymptote sa # x = 2 #, dahil ang denamineytor ay zero kapag # x = 2 #.

Nalalapit ito #1# mula sa itaas bilang x napupunta sa # + oo # (pahalang asymptote) at mga diskarte #1# mula sa ibaba bilang x papunta sa # -oo #, dahil sa malalaking halaga # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # may # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # para sa #x> 0 # at # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # para sa #x <0 #.

Upang makahanap ng max / min kailangan namin ang una at ikalawang derivatives.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Gamitin ang halagang panuntunan!

(x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)} / dx = () ^ 4}) #.

Ang paggamit ng panuntunan para sa mga kapangyarihan at tuntunin ng kadena ay nakukuha namin:

(x-2) ^ 4 # (df = {2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 *.

Nakasuot tayo ngayon ng kaunti …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Ngayon ang ikalawang nanggaling, tapos na tulad ng una.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Ito ay pangit ngunit kailangan lamang namin na mag-plug at at tandaan kung saan ito ay masama pagkilos.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Ang function na ito ay hindi natukoy sa # x = 2 #, na asymptote, ngunit mukhang masarap sa lahat ng dako.

Gusto naming malaman ang max / min ay …

itinakda namin # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # ito ay zero kapag ang numerator ay zero at kung ang denamineytor ay hindi.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # o # 4x (2-x) = 0 # Ito ay zero sa # x = 0 # at # x = 2 #, ngunit hindi namin maaaring magkaroon ng isang max / min ang derivative / function ay hindi natukoy, kaya ang tanging posibilidad ay # x = 0 #.

"ang ikalawang nanggaling na pagsubok"

Ngayon tinitingnan natin ang ikalawang nanggaling, pangit na ito …

(x-2) ^ 3) (x-2) ^ 8 #

Tulad ng pag-andar at ang unang hinalaw na ito ay hindi natukoy sa # x = 2 #, ngunit mukhang masarap sa lahat ng dako.

I-plug kami # x = 0 # sa # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, ay hindi zero tulad ng isang kaibig-ibig na numero upang plug ito?

#=128/256# lahat na para sa #1/2#

#1/2 >0# kaya nga # x = 0 # ay isang lokal na minima.

Upang mahanap ang y halaga na kailangan namin upang plug ito sa function.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Ang pinagmulan!