Ano ang minimum na halaga ng g (x) = x / csc (pi * x) sa agwat [0,1]?

Sagot:

May isang minimum na halaga ng #0# na matatagpuan sa parehong sa # x = 0 # at # x = 1 #.

Paliwanag:

Una, maaari naming agad na isulat ang function na ito bilang

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Recalling that #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Ngayon, upang makahanap ng mga minimum na halaga sa isang agwat, kilalanin na maaaring mangyari ang mga ito sa mga endpoint ng agwat o sa anumang mga kritikal na halaga na nagaganap sa loob ng agwat.

Upang mahanap ang mga kritikal na halaga sa loob ng agwat, itakda ang nanggaling ng function na katumbas ng #0#.

At, upang makilala ang pag-andar, kailangan nating gamitin ang patakaran ng produkto. Ang pagbibigay ng patakaran sa produkto ay nagbibigay sa amin

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Ang bawat isa sa mga derivatives ay nagbibigay ng:

# d / dx (x) = 1 #

At, sa pamamagitan ng tuntunin ng kadena:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Ang pagsasama-sama ng mga ito, nakita natin iyon

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Kaya, ang mga kritikal na halaga ay magaganap kailanman

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Hindi namin malutas ang algebraically na ito, kaya gumamit ng calculator upang mahanap ang lahat ng mga zero na function na ito sa ibinigay na agwat #0,1#:

graph {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Ang dalawang kritikal na halaga sa loob ng pagitan ay nasa # x = 0 # at # xapprox0.6485 #.

Kaya, alam namin na ang minimum na halaga ng #g (x) # maaaring mangyari sa #3# ibat ibang lugar:

• # x = 0 # o # x = 1 #, ang mga endpoint ng pagitan
• # x = 0 # o # x = 0.6485 #, ang mga kritikal na halaga sa loob ng agwat

Ngayon, i-plug ang bawat isa sa mga posibleng halaga sa agwat:

(g (0) = 0, kulay (pula) na teksto (minimum), (g (0.6485) = 0.5792, kulay (asul) na teksto (maximum) text (minimum)):} #

Dahil mayroong dalawang mga halaga na pantay na mababa, may mga minima pareho sa # x = 0 # at # x = 1 #. Tandaan na kahit napunta kami sa paghahanap ng problema ng # x = 0.6485 #, hindi ito kahit isang minimum.

Graphed ay #g (x) # sa pagitan #0,1#:

graph {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Gayundin, tandaan na ang minimum na halaga ay #0#, dahil #g (0) = g (1) = 0 #. Ang pagkakaiba ay iyon # x = 0 # at # x = 1 # ang mga lokasyon ng minima.