Ihambing mula sa unang prinsipyo x ^ 2sin (x)?

Sagot:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # mula sa kahulugan ng hinalaw at pagkuha ng ilang mga limitasyon.

Paliwanag:

Hayaan #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Pagkatapos

# (df) / dx = lim_ {h sa 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h sa 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)

(x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h sa 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h sa 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

sa pamamagitan ng isang trigonometriko pagkakakilanlan at ilang mga simplification. Sa mga apat na huling linya na mayroon kami apat na termino.

Ang unang termino katumbas ng 0, dahil

#lim_ {h sa 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h sa 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, na maaaring makita hal. mula sa pagpapalawak ng Taylor o panuntunan sa L'Hospital.

Ang Pang-apat na termino din nawala dahil

#lim_ {h sa 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

# = lim_ {h sa 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Ngayon ang pangalawang termino pinapasimple sa

# lim_ {h sa 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (kasalanan (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, dahil

#lim_ {h to 0} (kasalanan (h)) / h = 1 #, tulad ng ipinapakita dito, o hal. Panuntunan ng L'Hospital (tingnan sa ibaba).

Ang ikatlong termino pinapasimple sa

# lim_ {h sa 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

na pagkatapos pagdaragdag sa ikalawang termino binibigyan iyon

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Tandaan: Sa pamamagitan ng panuntunan ng L'Hospital, mula noon # lim_ {h sa 0} kasalanan (h) = 0 # at # lim_ {h sa 0} h = 0 # at ang parehong mga function ay differentiable sa paligid # h = 0 #, mayroon tayo

() / h = lim_ {h sa 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h sa 0} cos (h) = 1 #.

Ang limitasyon # lim_ {h sa 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # ay maipapakita nang katulad.