Paano mo isasama ang int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Sagot:

Ang kabuuan na ito ay hindi umiiral.

Paliwanag:

Mula noon #ln x> 0 # sa pagitan # 1, e #, meron kami

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

dito, upang ang integral ay nagiging

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Kapalit #ln x = u #, pagkatapos # dx / x = du # kaya na

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Ito ay isang hindi tamang integral, dahil ang integrand ay bumabagsak sa mas mababang limitasyon. Ito ay tinukoy bilang

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

kung umiiral ito. Ngayon

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

dahil ang mga ito ay nagpapahiwatig sa limitasyon #l -> 0 ^ + #, ang integral ay hindi umiiral.

Sagot:

# pi / 2 #

Paliwanag:

Ang mahalaga # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Kapalit muna # u = ln (x) # at # "d" u = ("d" x) / x #.

Kaya, mayroon kami

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Ngayon, kapalit # u = sin (v) # at # "d" u = cos (v) "d" v #.

Pagkatapos, (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v)))) "d" v # dahil # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Patuloy, mayroon kami

(x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #